【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù),a>0).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:ρ=4cosθ.
(Ⅰ)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=α0 , 其中α0滿足tanα0=2,若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上,求a.
【答案】解:(Ⅰ)由 ,得 ,兩式平方相加得,x2+(y﹣1)2=a2.
∴C1為以(0,1)為圓心,以a為半徑的圓.
化為一般式:x2+y2﹣2y+1﹣a2=0.①
由x2+y2=ρ2,y=ρsinθ,得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0;
(Ⅱ)C2:ρ=4cosθ,兩邊同時(shí)乘ρ得ρ2=4ρcosθ,
∴x2+y2=4x,②
即(x﹣2)2+y2=4.
由C3:θ=α0,其中α0滿足tanα0=2,得y=2x,
∵曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上,
∴y=2x為圓C1與C2的公共弦所在直線方程,
①﹣②得:4x﹣2y+1﹣a2=0,即為C3 ,
∴1﹣a2=0,
∴a=1(a>0)
【解析】(Ⅰ)把曲線C1的參數(shù)方程變形,然后兩邊平方作和即可得到普通方程,可知曲線C1是圓,化為一般式,結(jié)合x2+y2=ρ2,y=ρsinθ化為極坐標(biāo)方程;(Ⅱ)化曲線C2、C3的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程,由條件可知y=x為圓C1與C2的公共弦所在直線方程,把C1與C2的方程作差,結(jié)合公共弦所在直線方程為y=2x可得1﹣a2=0,則a值可求.
【考點(diǎn)精析】利用參數(shù)方程的定義對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是某個(gè)變數(shù)的函數(shù)并且對(duì)于的每一個(gè)允許值,由這個(gè)方程所確定的點(diǎn)都在這條曲線上,那么這個(gè)方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C1與雙曲線C2有相同的左右焦點(diǎn)F1、F2 , P為橢圓C1與雙曲線C2在第一象限內(nèi)的一個(gè)公共點(diǎn),設(shè)橢圓C1與雙曲線C2的離心率為e1 , e2 , 且 = ,若∠F1PF2= ,則雙曲線C2的漸近線方程為( )
A.x±y=0
B.x± y=0
C.x± y=0
D.x±2y=0
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y2=2x和圓x2+y2﹣x=0,傾斜角為 的直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn),若直線l與拋物線和圓的交點(diǎn)自上而下依次為A,B,C,D,則|AB|+|CD|= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義“正對(duì)數(shù)”:ln+x= ,現(xiàn)有四個(gè)命題: ①若a>0,b>0,則ln+(ab)=bln+a
②若a>0,b>0,則ln+(ab)=ln+a+ln+b
③若a>0,b>0,則 b
④若a>0,b>0,則ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2
其中的真命題有: . (寫出所有真命題的編號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】解答題
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)= ex的單調(diào)性,并證明當(dāng)x>0時(shí),(x﹣2)ex+x+2>0;
(Ⅱ)證明:當(dāng)a∈[0,1)時(shí),函數(shù)g(x)= (x>0)有最小值.設(shè)g(x)的最小值為h(a),求函數(shù)h(a)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《數(shù)學(xué)九章》中對(duì)已知三角形三邊長求三角形的面積的求法填補(bǔ)了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白,與著名的海倫公式完全等價(jià),由此可以看出我國古代已具有很高的數(shù)學(xué)水平,其求法是:“以小斜冪并大斜冪減中斜冪,余半之,自乘于上,以小斜冪乘大斜冪減上,余四約之,為實(shí).一為從隔,開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式,即S= .現(xiàn)有周長為4+ 的△ABC滿足sinA:sinB:sinC=( ﹣1): : ( +1),試用以上給出的公式求得△ABC的面積為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校為了了解高三學(xué)生每天自主學(xué)習(xí)中國古典文學(xué)的時(shí)間,隨機(jī)抽取了高三男生和女生各50名進(jìn)行問卷調(diào)查,其中每天自主學(xué)習(xí)中國古典文學(xué)的時(shí)間超過3小時(shí)的學(xué)生稱為“古文迷”,否則為“非古文迷”,調(diào)查結(jié)果如表:
古文迷 | 非古文迷 | 合計(jì) | |
男生 | 26 | 24 | 50 |
女生 | 30 | 20 | 50 |
合計(jì) | 56 | 44 | 100 |
(Ⅰ)根據(jù)表中數(shù)據(jù)能否判斷有60%的把握認(rèn)為“古文迷”與性別有關(guān)?
(Ⅱ)現(xiàn)從調(diào)查的女生中按分層抽樣的方法抽出5人進(jìn)行調(diào)查,求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人數(shù);
(Ⅲ)現(xiàn)從(Ⅱ)中所抽取的5人中再隨機(jī)抽取3人進(jìn)行調(diào)查,記這3人中“古文迷”的人數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望.
參考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d.
參考數(shù)據(jù):
P(K2≥k0) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 0.455 | 0.708 | 1.321 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過曲線C1: ﹣ =1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)F1作曲線C2:x2+y2=a2的切線,設(shè)切點(diǎn)為M,延長F1M交曲線C3:y2=2px(p>0)于點(diǎn)N,其中曲線C1與C3有一個(gè)共同的焦點(diǎn),若|MF1|=|MN|,則曲線C1的離心率為( )
A.
B. ﹣1
C. +1
D.
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