【題目】解答題
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)= ex的單調(diào)性,并證明當(dāng)x>0時(shí),(x﹣2)ex+x+2>0;
(Ⅱ)證明:當(dāng)a∈[0,1)時(shí),函數(shù)g(x)= (x>0)有最小值.設(shè)g(x)的最小值為h(a),求函數(shù)h(a)的值域.
【答案】解:(微軟雅黑)證明:f(x)=
f'(x)=ex( )=
∵當(dāng)x∈(﹣∞,﹣2)∪(﹣2,+∞)時(shí),f'(x)>0
∴f(x)在(﹣∞,﹣2)和(﹣2,+∞)上單調(diào)遞增
∴x>0時(shí), >f(0)=﹣1
即(x﹣2)ex+x+2>0
(Ⅱ)g'(x)=
= =
a∈[0,1)
由(Ⅰ)知,當(dāng)x>0時(shí),f(x)= 的值域?yàn)椋ī?,+∞),只有一解使得
,
只需 et≤0恒成立,可得﹣2<t≤2,
由x>0,可得
t∈(0,2]
當(dāng)x∈(0,t)時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)減;
當(dāng)x∈(t,+∞),g'(x)>0,g(x)單調(diào)增;
h(a)= = =
記k(t)= ,在t∈(0,2]時(shí),k'(t)= >0,
故k(t)單調(diào)遞增,
所以h(a)=k(t)∈( , ]
【解析】從導(dǎo)數(shù)作為切入點(diǎn)探求函數(shù)的單調(diào)性,通過函數(shù)單調(diào)性來求得函數(shù)的值域,利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式進(jìn)行求導(dǎo),然后逐步分析即可
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減),還要掌握函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2,前n項(xiàng)和為Sn , 等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)b1=1,且a2=b3 , S3=6b2 , n∈N* .
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)數(shù)列{cn}滿足cn=bn+(﹣1)nan , 記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn , 求Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在公差不為0的等差數(shù)列{an}中,a22=a3+a6 , 且a3為a1與a11的等比中項(xiàng).
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=(﹣1)n ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且S4=4S2 , a2n=2an+1.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn , 且 (λ為常數(shù)).令cn=b2n , (n∈N*),求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Rn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù),a>0).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:ρ=4cosθ.
(Ⅰ)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=α0 , 其中α0滿足tanα0=2,若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上,求a.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若x1 , x2 , …,x2017的平均數(shù)為4,標(biāo)準(zhǔn)差為3,且yi=﹣3(xi﹣2),i=x1 , x2 , …,x2017 , 則新數(shù)據(jù)y1 , y2 , …,y2017的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為( )
A.﹣6 9
B.﹣6 27
C.﹣12 9
D.﹣12 27
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 =(sin(π+ωx),2cosωx), =(2 sin( +ωx),cosωx),(ω>0),函數(shù)f(x)= ,其圖象上相鄰的兩個(gè)最低點(diǎn)之間的距離為π.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的對稱中心;
(Ⅱ)在銳角△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,tanB= ,求f(A)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】直線l:kx+y+4=0(k∈R)是圓C:x2+y2+4x﹣4y+6=0的一條對稱軸,過點(diǎn)A(0,k)作斜率為1的直線m,則直線m被圓C所截得的弦長為( )
A.
B.
C.
D.2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某位同學(xué)進(jìn)行寒假社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),為了對白天平均氣溫與某奶茶店的某種飲料銷量之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究,他分別記錄了1月11日至1月15日的白天平均氣溫x(°C)與該小賣部的這種飲料銷量y(杯),得到如下數(shù)據(jù):
日 期 | 1月11日 | 1月12日 | 1月13日 | 1月14日 | 1月15日 |
平均氣溫x(°C) | 9 | 10 | 12 | 11 | 8 |
銷量y(杯) | 23 | 25 | 30 | 26 | 21 |
(Ⅰ)若先從這五組數(shù)據(jù)中抽出2組,求抽出的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰2天數(shù)據(jù)的概率;
(Ⅱ)請根據(jù)所給五組數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程 = x+ ;
(Ⅲ)根據(jù)(Ⅱ)中所得的線性回歸方程,若天氣預(yù)報(bào)1月16日的白天平均氣溫7(°C),請預(yù)測該奶茶店這種飲料的銷量.
(參考公式: = , = ﹣ )
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