已知橢圓C:( )的離心率為,點(1,)在橢圓C上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若橢圓C的兩條切線交于點M(4,),其中,切點分別是A、B,試利用結(jié)論:在橢圓上的點()處的橢圓切線方程是,證明直線AB恒過橢圓的右焦點;
(3)試探究的值是否恒為常數(shù),若是,求出此常數(shù);若不是,請說明理由.
(1) ;(2)參考解析;(3)
解析試題分析:(1)由離心率為,點(1,)在橢圓C,根據(jù)橢圓方程的等量關(guān)系即可求出的值,即得到橢圓方程.
(2)由橢圓切線方程是,又因為切點分別為A,B.所以帶入A,B兩點的坐標,即可得到兩條切線方程,又因為這兩條切線過點M,代入點M的坐標,即可得經(jīng)過A,B的直線方程,根據(jù)右焦點的坐標即可得到結(jié)論.
(3)由(2)可得直線AB的方程,聯(lián)立橢圓方程,利用韋達定理,兩點的距離公式表達出,通過運算即可得到結(jié)論.
(1)設(shè)橢圓C的方程為()
①
點(1,)在橢圓C上,②,
由①②得:
橢圓C的方程為, 4分
(2)設(shè)切點坐標,,則切線方程分別為,.
又兩條切線交于點M(4,),即,
即點A、B的坐標都適合方程,顯然對任意實數(shù),點(1,0)都適合這個方程,
故直線AB恒過橢圓的右焦點. 7分
(3)將直線的方程,代入橢圓方程,得
,即
所以, 10分
不妨設(shè),,
同理
所以==
所以的值恒為常數(shù). 13分
考點:1.橢圓的方程.2.直線與圓的位置關(guān)系.3.構(gòu)造概括的能力.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分13分)
已知雙曲線的兩條漸近線分別為.
(1)求雙曲線的離心率;
(2)如圖,為坐標原點,動直線分別交直線于兩點(分別在第一,四象限),且的面積恒為8,試探究:是否存在總與直線有且只有一個公共點的雙曲線?若存在,求出雙曲線的方程;若不存在,說明理由.
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已知橢圓C的兩焦點分別為,長軸長為6,
⑴求橢圓C的標準方程;
⑵已知過點(0,2)且斜率為1的直線交橢圓C于A 、B兩點,求線段AB的長度。.
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已知圓的圓心在坐標原點,且恰好與直線相切,設(shè)點A為圓上一動點,軸于點,且動點滿足,設(shè)動點的軌跡為曲線
(1)求曲線C的方程,
(2)直線l與直線l,垂直且與曲線C交于B、D兩點,求△OBD面積的最大值.
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在平面直角坐標系中,原點為,拋物線的方程為,線段是拋物線的一條動弦.
(1)求拋物線的準線方程和焦點坐標;
(2)若,求證:直線恒過定點;
(3)當(dāng)時,設(shè)圓,若存在且僅存在兩條動弦,滿足直線與圓相切,求半徑的取值范圍?
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已知直線與橢圓相交于兩點,點是線段上的一點,且點在直線上.
(1)求橢圓的離心率;
(2)若橢圓的焦點關(guān)于直線的對稱點在單位圓上,求橢圓的方程.
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已知橢圓,、是橢圓的左右焦點,且橢圓經(jīng)過點.
(1)求該橢圓方程;
(2)過點且傾斜角等于的直線,交橢圓于、兩點,求的面積.
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已知橢圓C:的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點,以弦為直徑的圓過坐標原點,試探討點到直線的距離是否為定值?若是,求出這個定值;若不是,說明理由.
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如圖,設(shè)拋物線:的焦點為,準線為,過準線上一點且斜率為的直線交拋物線于,兩點,線段的中點為,直線交拋物線于,兩點.
(1)求拋物線的方程及的取值范圍;
(2)是否存在值,使點是線段的中點?若存在,求出值,若不存在,請說明理由.
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