Question

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2， M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)。

（1） 證明：直線MN∥平面OCD；
（2） 求異面直線AB與MD所成角的大��；
（3） 求點(diǎn)B到平面OCD的距離。

Answer 1

（1）證明：取OB中點(diǎn)E，連結(jié)ME，NE，
∵M(jìn)E∥AB，AB∥CD，
∴ME∥CD，
又∵NE∥OC，
∴平面MNE∥平面OCD，
∴MN∥平面OCD。
（2）解：∵CD∥AB，
∴∠MDC（或其補(bǔ)角）為異面直線AB與MD所成的角，
作AP⊥CD于P，連結(jié)MP，
∵OA⊥平面ABCD，
∴CD⊥MP，
∵∠ADP=，
∴DP=，
∵M(jìn)D=，
∴cos∠MDP=，∠MDC=∠MDP=，
所以AB與MD所成角的大小為。
（3）解：∵AB∥平面OCD，
∴點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD的距離相等，
作AP⊥DC于P，
又OA⊥DC，
∴CD⊥平面OAP，CD平面OCD，
∴平面ODC⊥平面OAP，
又∵OP為平面OAP與平面OCD的交線，
在平面OAP內(nèi)作AH⊥OP于H，
∴AH⊥平面OCD，
在Rt△OAP中，
，
∴點(diǎn)B到平面OCD的距離是。