如圖,在四棱錐O-ABCD中,底面ABCD是邊長為1的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M為OA的中點,N為BC中點,以A為原點,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,利用空間向量解答以下問題
(1)證明:直線BD⊥OC
(2)證明:直線MN∥平面OCD
(3)求異面直線AB與OC所成角的余弦值.
分析:以A為原點,以AO,AB,AD分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,A-xyz.
(1)要證明BD⊥OC,只要證明
BD
OC
=0
即可;
(2)設(shè)平面OCD的法向量為
n
=(x,y,z)
,可得
n
OC
=x+y-2z=0
n
CD
=-x=0
,求出法向量
n
,只要證明
n
MN
=0
即可;
(3)利用cos<
AB
OC
=
AB
OC
|
AB
| |
OC
|
即可得出.
解答:解:以A為原點,以AO,AB,AD分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,A-xyz.
則B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(1,
1
2
,0)

(1)∵
BD
=(-1,1,0)
,
OC
=(1,1,-2)
,
BD
OC
=-1+1+0=0
,
BD
OC
,∴BD⊥OC;
(2)
CD
=(-1,0,0)
,設(shè)平面OCD的法向量為
n
=(x,y,z)
,則
n
OC
=x+y-2z=0
n
CD
=-x=0
,
令y=2,則x=0,z=1,∴
n
=(0,2,1)
,
MN
=(1,
1
2
,-1)
,∴
n
MN
=2×
1
2
-1×1=0
,
而MN?平面OCD,∴MN∥平面OCD.
(3)
AB
=(1,0,0)
,∴cos<
AB
OC
=
AB
OC
|
AB
| |
OC
|
=
1
1+1+(-2)2
=
6
6
,
∴異面直線AB與OC所成角的余弦值為
6
6
點評:熟練掌握通過建立空間直角坐標(biāo)系的方法求證垂直、線面平行及求出異面直線所成的角等是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐O-ABCD中,底面ABCD四邊長為1的菱形,∠ABC=
π4
,OA⊥底面ABCD,OA=2,M為OA的中點,N為BC的中點.
(Ⅰ)證明:直線MN∥平面OCD;
(Ⅱ)求異面直線AB與MD所成角的大;
(Ⅲ)求二面角A-OD-C的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐O-ABCD中,底面ABCD四邊長為1的菱形,∠ABC=
π3
,OA⊥底面ABCD,OA=2,M為OA的中點.
(1)求三棱錐B-OCD的體積;
(2)求異面直線AB與MD所成角的余弦值;
注:若直線a⊥平面α,則直線a與平面α內(nèi)的所有直線都垂直.

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精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐O-ABCD中,底面ABCD四邊長為1的菱形,∠ABC=
π4
,OA⊥底面ABCD,OA=2,M為OA的中點,N為BC的中點
(1)求三棱錐B-OCD的體積;
(2)求異面直線AB與MD所成角的大;
注:若直線a⊥平面α,則直線a與平面α內(nèi)的所有直線都垂直.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:江蘇同步題 題型:解答題

如圖,在四棱錐O﹣ABCD中,底面ABCD四邊長為1的菱形,∠ABC=,OA⊥底面ABCD,OA=2,M為OA的中點,N為BC的中點.
(Ⅰ)證明:直線MN∥平面OCD;
(Ⅱ)求異面直線AB與MD所成角的大小;
(Ⅲ)求二面角A﹣OD﹣C的余弦值.

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