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如圖,在四棱錐O-ABCD中,底面ABCD四邊長為1的菱形,∠ABC=
π3
,OA⊥底面ABCD,OA=2,M為OA的中點.
(1)求三棱錐B-OCD的體積;
(2)求異面直線AB與MD所成角的余弦值;
注:若直線a⊥平面α,則直線a與平面α內的所有直線都垂直.
分析:(1)利用三棱錐的換底性VB-OCD=VO-BCD,OA為棱錐的高,再求出底面面積,代入公式計算;
(2)作AP⊥CD于點P,分別以AB,AP,AO所在直線為x,y,z軸建立坐標系,求出
AB
MD
,然后利用向量的夾角公式求出所求即可;
解答:解:(1)∵底面ABCD四邊長為1的菱形,∠ABC=
π
3
,
∴底面ABCD的面積S=1×1×sin60°=
3
2
;
∵OA⊥底面ABCD,OA=2,
∴棱錐的高為2,
∴VB-OCD=VO-BCD=
1
3
×
1
2
×S×OA=
3
6

(2)作AP⊥CD于點P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為x,y,z軸建立坐標系,
則A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,
2
2
,0),
∵底面ABCD四邊長為1的菱形,∠ABC=
π
3

∴∠CAP=
π
6
,AP=
3
2
,PD=
1
2
,
∴D(
1
2
3
2
,0),M(0,0,1),
AB
=(1,0,0),
MD
=(
1
2
3
2
,-1),
∴cos
AB
MD
=
AB
MD
|
AB
||
MD
|
=
1
2
1+1
=
2
4

點評:本題考查了棱錐的體積計算,考查了用向量法求異面直線所成角的余弦值,解答本題的關鍵是利用平面幾何知識求得D的坐標.
練習冊系列答案
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(1)證明:直線BD⊥OC
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(3)求異面直線AB與OC所成角的余弦值.

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π4
,OA⊥底面ABCD,OA=2,M為OA的中點,N為BC的中點.
(Ⅰ)證明:直線MN∥平面OCD;
(Ⅱ)求異面直線AB與MD所成角的大;
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π4
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