Question

如果函數(shù)f（x）=a^x（a^x-4a²-1）（a＞0且a≠1）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

1. A.
   [）
2. B.
   （0，]
3. C.
   （1，2]
4. D.
   ∅

Answer 1

A
分析：先化簡(jiǎn)f（x）的表達(dá)式，令t=a^x．則f（t）=t²-（4a²+1）t（t＞0）．下面對(duì)參數(shù)a分類討論，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的方法求解即可．
解答：由題意得f（x）=（a^x）²-（4a²+1）a^x，
令t=a^x，≥1，f（t）=t²-（4a²+1）t，（t≥1）
當(dāng)a＞1時(shí)，t=a^x在[0，+∞）上為增函數(shù)，
而對(duì)于f（t）=t²-（4a²+1）t，（t≥1），對(duì)稱軸t=，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的增減性，
要使f（t）在區(qū)間t∈[1，+∞）上也是增函數(shù)，
就必須有：對(duì)稱軸t=＞，（a＞1）
∴f（t）在區(qū)間t∈[1，+∞）上先減后增，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上不是增函數(shù)，
∴0＜a＜1，此時(shí)t=a^x在[0，+∞）上為減函數(shù)，
此時(shí)0＜t＜1，要使f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
則f（t）在（0，1]上必為減函數(shù)，
故≥1，
∴a≥，綜上≤a＜1；
故選A；
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．