已知函數(shù)，（＞0，，以點為切點作函數(shù)圖象的切線，記函數(shù)圖象與三條直線所圍成的區(qū)域面積為．
（1）求；
（2）求證：＜；
（3）設(shè)為數(shù)列的前項和，求證：＜．來

（1）；（2）詳見試題分析；（3）詳見試題分析．

解析試題分析：（1）先對求導(dǎo)，根據(jù)切點坐標(biāo)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，寫出切線的方程，最后利用定積分計算圖象與三條直線所圍成的區(qū)域面積，可求得數(shù)列的通項公式；（2）構(gòu)造函數(shù)（≥0），求導(dǎo)可得，從而函數(shù)（≥0）單調(diào)遞減，故，從而證得當(dāng)＞0時，＜成立，故＜，∴=＜；（3）由（2）：＜，由放縮法得＜，再結(jié)合裂項相消法即可證明來＜．
試題解析：（1）易知，切點為，則方程為
即，∴=
（2）構(gòu)造函數(shù)（≥0），則，即函數(shù)，（≥0）單調(diào)遞減，而，∴，等號在時取得，∴當(dāng)＞0時，＜成立，∴知＜，∴=＜．
（3）＜＜，∴當(dāng)時，=＜；當(dāng)時，＜＜．
方法二：
（1）（2）同方法一；
（3）由（2）知＜，


（），

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f(x)＝(x2＋ax＋b)ex(x∈R)．
(1)若a＝2，b＝－2，求函數(shù)f(x)的極大值；
(2)若x＝1是函數(shù)f(x)的一個極值點．
①試用a表示b；
②設(shè)a＞0，函數(shù)g(x)＝(a2＋14)ex＋4.若?ξ1、ξ2∈[0，4]，使得|f(ξ1)－g(ξ2)|＜1成立，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為x＋2y－3＝0.求a，b.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)L為曲線C：y＝在點(1,0)處的切線．
(1)求L的方程；
(2)證明：除切點(1,0)之外，曲線C在直線L的下方．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)＝ax＋＋b(a＞0)．
(1)求f(x)的最小值；
(2)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y＝x，求a，b的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=x3-x2+x+b,其中a,b∈R.
(1)若曲線y=f(x)在點P(2,f(2))處的切線方程為y=5x-4,求函數(shù)f(x)的解析式.
(2)當(dāng)a>0時,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).其中.
（1）若曲線y＝f(x)與y=g(x)在x＝1處的切線相互平行,求兩平行直線間的距離;
（2）若f(x)≤g(x)－1對任意x>0恒成立,求實數(shù)的值;
（3）當(dāng)<0時，對于函數(shù)h(x)=f(x)－g(x)+1,記在h(x)圖象上任取兩點A、B連線的斜率為,若,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（1）若是的極值點,求及在上的最大值;
（2）若函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

定義F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞).令函數(shù)f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))的圖象為曲線C1,曲線C1與y軸交于點A(0,m),過坐標(biāo)原點O向曲線C1作切線,切點為B(n,t)(n>0),設(shè)曲線C1在點A,B之間的曲線段與線段OA,OB所圍成圖形的面積為S,求S的值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案