Question

【題目】已知分別是橢圓的左右焦點.

（Ⅰ）若是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點， ,求點的坐標.

（Ⅱ）若直線與圓相切，交橢圓于兩點，是否存在這樣的直線，使得？

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）不存在.

【解析】

（Ⅰ）由橢圓標準方程得到焦點坐標，設(shè)，利用以及點P在橢圓上，聯(lián)立方程組，求出P點坐標。

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，由圓心到直線的距離為，得出，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，整理得，，由韋達定理求出、，由與的關(guān)系求出，代入，進而得出，即可得出不存在這樣的直線，使得

解（Ⅰ）因為橢圓方程為，知

，設(shè)，

則

又，聯(lián)立

解得，

（Ⅱ）不存在這樣的直線，使得

設(shè)

①若的斜率不存在時，，代入橢圓方程得，

容易得出，此時不成立

②若的斜率存在時，設(shè)

則由已知可得，即

由

則

要，則,

即

即，又，

，

從而，此方程無實解，此時不成立,

綜上，不存在這樣的直線，使得