Question

若直線l：x+my+c=0與拋物線y²=2x交于A、B兩點(diǎn)，O點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）當(dāng)m=-1，c=-2時，求證：OA⊥OB；
（2）若OA⊥OB，求證：直線l恒過定點(diǎn)；并求出這個定點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）當(dāng)OA⊥OB時，試問△OAB的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線位置關(guān)系如何？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由

x+my+c=0 y2=2x

得y²+2my+2c=0，y₁+y₂=-2m  y₁y₂=2c，x₁+x₂=2m²-2c  x₁x₂=c²，
（1）當(dāng)m=-1，c=-2時，要證OA⊥OB．只要證x₁x₂+y₁y₂=0 即可
（2）當(dāng)OA⊥OB時，x₁x₂+y₁y₂=0 可求c，此時可求直線l：x+my-2=0及過的定點(diǎn)
（3）要判斷△OAB的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線位置關(guān)系，只要判斷圓心到準(zhǔn)線的距離與半徑的大小即可

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由

x+my+c=0 y2=2x

得y²+2my+2c=0
可知y₁+y₂=-2m  y₁y₂=2c，x1x2=

1

2

y

2 1

• 1 2 y

2 2

=

1

4

×4c2=c2
∴x₁+x₂=2m²-2c，x1x2=

1

2

y

2 1

• 1 2 y

2 2

=

1

4

×4c2=c2
（1）當(dāng)m=-1，c=-2時，x₁x₂+y₁y₂=0 所以O(shè)A⊥OB．
（2）當(dāng)OA⊥OB時，x₁x₂+y₁y₂=0 于是c²+2c=0
∴c=-2（c=0不合題意），此時，直線l：x+my-2=0（3）過定點(diǎn)（2，0）．
（3）由（2）OA⊥OB，知c=-2
由題意AB的中點(diǎn)D（就是△OAB外接圓圓心）到原點(diǎn)的距離就是外接圓的半徑．D（m²-c，-m）
而（m²-c+

1

2

）²-[（m²-c）²+m²]=

1

4

-c=

9

4

∴圓心到準(zhǔn)線的距離大于半徑，故△OAB的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相離

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與曲線方程的位置關(guān)系及方程思想的轉(zhuǎn)化，方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，拋物線的定義的應(yīng)用．綜合的知識的較多，還有具備一定的計算及推理的能力．