【題目】某化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額,擬在2010年世博會期間進行一系列促銷活動,經(jīng)過市場調(diào)查和測算,化妝品的年銷量x萬件與年促銷費t萬元之間滿足3﹣x與t+1成反比例,如果不搞促銷活動,化妝品的年銷量只能是1萬件,已知2010年生產(chǎn)化妝品的設(shè)備折舊、維修等固定費用為3萬元,每生產(chǎn)1萬件化妝品需要再投入32萬元的生產(chǎn)費用,若將每件化妝品的售價定為:其生產(chǎn)成本的150%與平均每件促銷費的一半之和,則當(dāng)年生產(chǎn)的化妝品正好能銷完.
(1)將2010年利潤y(萬元)表示為促銷費t(萬元)的函數(shù);
(2)該企業(yè)2010年的促銷費投入多少萬元時,企業(yè)的年利潤最大?
(注:利潤=銷售收入﹣生產(chǎn)成本﹣促銷費,生產(chǎn)成本=固定費用+生產(chǎn)費用)

【答案】
(1)解:由題意: ,

且當(dāng)t=0時,x=1.

所以k=2,即

當(dāng)年銷量為x萬件時,成本為3+32x(萬元).

化妝品的售價為 (萬元/萬件)

所以年利潤y= (萬元)

代入整理得到 ,其中t≥0.


(2)解:去分母整理得到:t2+2(y﹣49)t+2y﹣35=0.

該關(guān)于t的方程在[0,+∞)上有解.

當(dāng)2y﹣35≤0,即y≤17.5時,必有一解.

當(dāng)2y﹣35>0時,該關(guān)于t的方程必須有兩正根

所以 .解得:17.5<y≤42.

綜上,年利潤最大為42萬元,此時促銷費t=7(萬元).

所以當(dāng)促銷費定在7萬元時,企業(yè)的年利潤最大.


【解析】(1)根據(jù)題意,3﹣x與t+1成反比例,列出關(guān)系式,然后根據(jù)當(dāng)t=0時,x=1,求出k的值,通過x表示出年利潤y,并化簡,代入整理即可求出y萬元表示為促銷費t萬元的函數(shù).(2)根據(jù)已知代入(1)的函數(shù),分別進行化簡,利用關(guān)于t的方程必須有兩正根建立關(guān)系式,可求出最值,即促銷費投入多少萬元時,企業(yè)的年利潤最大.

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