Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)既有一個極小值又有一個極大值，求的取值范圍；

（3）若存在，使得當(dāng)時， 的值域是，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 的增區(qū)間為，減區(qū)間為；(2) ；(3) .

【解析】試題分析：

(1)當(dāng)時， ，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；

(2)求解導(dǎo)函數(shù)有，令，則方程必有兩個不等的正根，據(jù)此結(jié)合二次方程根的分布可得實數(shù)的取值范圍是；

(3)求解導(dǎo)函數(shù)， ，分類討論時和時兩種情況可得的取值范圍是.

試題解析：

（1）的定義域為，

當(dāng)時， ，令得，

當(dāng)時，當(dāng)時， ，

∴函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；

（2），則，

令，若函數(shù)有兩個極值點，

則方程必有兩個不等的正根，

設(shè)兩根為，于是，解得，

當(dāng)時， 有兩個不相等的正實根，設(shè)為，不妨設(shè)，

則，

當(dāng)時， ， ， 在上為減函數(shù)；

當(dāng)時， ， 在上為增函數(shù)；

當(dāng)時， ，函數(shù)在上為減函數(shù)．

由此， 是函數(shù)的極小值點， 是函數(shù)的極大值點．符合題意 ．

綜上，所求實數(shù)的取值范圍是；

（3），

①當(dāng)時， ，

當(dāng)時， 的上為減函數(shù)；

當(dāng)時， 在上為增函數(shù)，

所以，當(dāng)時， 的值域是，

不符合題意．

②當(dāng)時， ，

（i）當(dāng)，即時，當(dāng)變化時， 的變化情況如下：

				1
	-	0	+	0	-
	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)

若滿足題意，只需滿足，即，

整理得，令，

當(dāng)時， ，所以在上為增函數(shù)，

即當(dāng)時， ，

可見，當(dāng)時， 恒成立，

故當(dāng)時，函數(shù)的值域是；

所以滿足題意．

（ii）當(dāng)，即時， ，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，

所以在上為減函數(shù)，從而在上為減函數(shù)，

符合題意；

（iii）當(dāng)，即時，當(dāng)變化時， 的變化情況如下表：

		1
	-	0	+	0	-
	減函數(shù)	極小值0	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)

若滿足題意，只需滿足，且（若，不符合題意），

即，且，

又，所以，此時， ，

綜上， ，

所以，實數(shù)的取值范圍是．