Question

【題目】如圖：已知四棱錐P—ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PA⊥面ABCD，M是AD的中點(diǎn)，N是PC的中點(diǎn).

（1）求證：MN∥面PAB；

（2）若平面PMC⊥面PAD，求證：CM⊥AD.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）取BC中點(diǎn)E，連結(jié)ME、NE，由已知推導(dǎo)出平面PAB∥平面MNE，由此能證明MN∥平面PAB．

（2）利用面面垂直的性質(zhì)，由平面PMC⊥平面PAD，平面ABCD⊥平面PAD，可證CM⊥平面PAD，由AD平面PAD，即可證明CM⊥AD

試題解析：（1）取PB的中點(diǎn)E，連接EA，EN，

在△PBC中，EN//BC且，

又，AD//BC，AD＝BC

所以EN//AM，，EN＝AM.

所以四邊形ENMA是平行四邊形，

所以MN//AE. 又，，

所以MN//平面PAB.

（2）過點(diǎn)A作PM的垂線，垂足為H，

因?yàn)槠矫鍼MC⊥平面PAD，平面PMC∩平面PAD＝PM，AH⊥PM，

所以AH⊥平面PMC，又

所以AH⊥CM.

因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CM.

因?yàn)镻A∩AH＝A，

所以CM⊥平面PAD.

又所以CM⊥AD.