Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形為正方形，四邊形為等腰梯形，，，，.

（1）求證：平面；

（2）求四面體的體積；

（3）線段上是否存在點，使平面？請證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）利用勾股定理得到，再結(jié)合并利用直線與平面垂直的判定定理證明平面；（2）先證明平面，從而得到為三棱錐的高，并計算的面積作為三棱錐的底面積。最后利用錐體的體積公式計算四面體的體積；（3）連接交于點，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到為的中點，然后取的中點，構(gòu)造底邊的中位線，得到，結(jié)合直線與平面平行的判定定理得到平面.

試題解析：（1）在中，因為，，，，

，

又因為，且，平面，平面，平面；

（2）因為平面，且平面，，

又，且，平面，平面，

平面，即為三棱錐的高，

在等腰梯形中可得，所以，

的面積為，

所以四面體的體積為；

（3）線段上存在點，且為的中點時，有平面，

證明如下：連接，與交于點，連接，

四邊形為正方形，所以為的中點，

又為的中點，，

平面，平面，平面，

因此線段上存在點，使得平面成立.

考點：1.直線與平面垂直的判定；2.錐體的體積的計算；3.直線與平面平行的判定