【題目】某奧運(yùn)會(huì)主體育場的簡化鋼結(jié)構(gòu)俯視圖如圖所示,內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓,我們稱這兩個(gè)橢圓相似。
(1)已知橢圓,寫出與橢圓相似且焦點(diǎn)在軸上、短半軸長為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;若在橢圓上存在兩點(diǎn)、關(guān)于直線對稱,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)從外層橢圓頂點(diǎn)A、B向內(nèi)層橢圓引切線AC、BD,設(shè)內(nèi)層橢圓方程為+=1 (ab0),AC與BD的斜率之積為-,求橢圓的離心率。
【答案】(1);(2).
【解析】試題分析:
(1)由兩點(diǎn)、關(guān)于直線對稱可設(shè)出直線的方程為,將此方程與橢圓方程聯(lián)立消去y可得,由題意此方程有兩個(gè)不等實(shí)根,再根據(jù)的中點(diǎn)在直線上可消去t,根據(jù)判別式可得的范圍;
(2)設(shè)外層的橢圓的方程為,切線的方程為,由直線與橢圓相切根據(jù)判別式為零可得,同理切線BD的斜率,故,結(jié)合條件可得,根據(jù)此結(jié)論可求得。
試題解析:
(1)橢圓的方程為:
設(shè)直線的方程為,
由消去y整理得
設(shè)點(diǎn), 中點(diǎn)為,
則
所以
因?yàn)橹悬c(diǎn)在直線上,
所以,
解得
所以直線的方程為,
由題意可知,直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn),
即方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,
所以,
解得或(舍去)。
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為。
(2)設(shè)外層的橢圓的方程為,
設(shè)切線的方程為,
由消去y整理得
∵直線與橢圓相切,
∴,
整理得,
同理
∴,∴,
由題意得
∴,∴。
即橢圓的離心率為。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題,并判斷其真假.
(1)對數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù);
(2)至少有一個(gè)整數(shù),它既能被11整除,又能被9整除;
(3)x∈{x|x>0}, ;
(4)x0∈Z,log2x0>2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(Ⅱ)證明: 是函數(shù)存在最小值的充分而不必要條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】由大于0的自然數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列{an},它的最大項(xiàng)為26,其所有項(xiàng)的和為70;
(1)求數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)n;
(2)求此數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某鋼廠打算租用, 兩種型號的火車車皮運(yùn)輸900噸鋼材, , 兩種車皮的載貨量分別為36噸和60噸,租金分別為1.6萬元/個(gè)和2.4萬元/個(gè),鋼廠要求租車皮總數(shù)不超過21個(gè),且型車皮不多于型車皮7個(gè),分別用, 表示租用, 兩種車皮的個(gè)數(shù).
(Ⅰ)用, 列出滿足條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域;
(Ⅱ)分別租用, 兩種車皮的個(gè)數(shù)是多少時(shí),才能使得租金最少?并求出此最小租金.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知長方形中, , 為的中點(diǎn),將沿折起,使得平面平面,設(shè)點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)(不與, 重合).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求三棱錐的體積;
(Ⅱ)求證: 不可能與垂直.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次函數(shù),分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)a和b得到數(shù)對。
(1)若,,求函數(shù)在內(nèi)是偶函數(shù)的概率;
(2)若,,求函數(shù)有零點(diǎn)的概率;
(3)若,,求函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的概率。
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