Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{x}，x＞2}\\{（x-1）^{3}，x≤2}\end{array}\right.$，a∈R．
（1）當(dāng)a=2時，求方程f（x）=x-1的實數(shù)解；
（2）若方程f（x）=3x-1有且只有兩個實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）已知函數(shù)g（x）=f（x）+2ax-1，其定義域為[2，4]，求函數(shù)的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)分段函數(shù)的解析式得到$\left\{\begin{array}{l}{x-1=\frac{2}{x}}\\{x＞2}\end{array}\right.$  或$\left\{\begin{array}{l}{x-1=（x-1）^{3}}\\{x≤2}\end{array}\right.$，解得即可，
（2）根據(jù)分段函數(shù)的解析式得到3x²-x-a=0在（2，+∞）上有且只有一個實數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出，
（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，先判斷單調(diào)性，再分類討論即可求出函數(shù)的最大值．

解答 解：（1）依題意得：$\left\{\begin{array}{l}{x-1=\frac{2}{x}}\\{x＞2}\end{array}\right.$  或$\left\{\begin{array}{l}{x-1=（x-1）^{3}}\\{x≤2}\end{array}\right.$，----------------------------（2分）
解得x=2或x=1，或x=0．----------------------------（3分）
（2）依題意得：$\left\{\begin{array}{l}{3x-1=\frac{a}{x}}\\{x＞2}\end{array}\right.$，①，或$\left\{\begin{array}{l}{3x-1=（x-1）^{3}}\\{x≤2}\end{array}\right.$，②--------------------（4分）
由②得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-3{x}^{2}=0}\\{x≤2}\end{array}\right.$，解得x=0，----------------------------（5分）
∵方程f（x）=3x-1有且只有有兩個實數(shù)解，則①有且只有一個實數(shù)根，----------------------------（6分）
即3x²-x-a=0在（2，+∞）上有且只有一個實數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)h（x）=3x²-x-a=0，（亦可分析a=3x²-x））
拋物線開口向上，對稱軸為x=$\frac{1}{6}$，
則有h（2）＜0，即10-a＜0，
∴a＞10．----------------------------（7分）
（3）依題意得：g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{x}+2ax-1，x∈（2，4]}\\{4a，x=2}\end{array}\right.$，-------------------------------------------------------（8分）
則有g(shù)（x）=a（$\frac{1}{x}$+2x）-1，任取2＜x₁＜x₂≤4，
∴g（x₁）-g（x₂）=a（$\frac{1}{{x}_{1}}$+2x₁-$\frac{1}{{x}_{2}}$-2x₂）=a（x₁-x₂）$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，2x₁x₂-1＞0，
（i）若a＞0，g（x₁）-g（x₂）＜0，函數(shù)g（x）在（2，4]單調(diào)遞增，
又g（4）=$\frac{33a}{4}$-1，令4a=$\frac{33a}{4}$-1，解得a=$\frac{4}{17}$，
則當(dāng)a≥$\frac{4}{17}$時，函數(shù)g（x）的最大值為$\frac{33a}{4}$-1；
則當(dāng)0＜a＜$\frac{4}{17}$時，函數(shù)g（x）的最大值為4a；----------------------------（9分）
（ii） 當(dāng)a=0時，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-1，x∈（2，4]}\\{0，x=2}\end{array}\right.$函數(shù)g（x）的最大值為0；----------（10分）
（iii）當(dāng)a＜0時，g（x₁）-g（x₂）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，g（x）＜$\frac{9a}{2}$-1
又（$\frac{9}{2}$a-1）-4a=$\frac{1}{2}$a-1＜0，
則當(dāng)a＜0時，則函數(shù)g（x）的最大值為4a；----------------------------（11分）
綜上可得：當(dāng)a≥$\frac{4}{17}$時，函數(shù)g（x）的最大值為$\frac{33a}{4}$-1；當(dāng)a＜$\frac{4}{17}$時，函數(shù)g（x）的最大值為4a．--------------------------------------------------------------------（12分）

點評 本題考查了分段函數(shù)，二次函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值，關(guān)鍵時分類討論，屬于中檔題．