Question

15．某電視臺推出一檔游戲類綜藝節(jié)目，選手面對1-5號五扇大門，依次按響門上的門鈴，門鈴會播放一段音樂，選手需正確回答這首歌的名字，回答正確，大門打開，并獲得相應(yīng)的家庭夢想基金，回答每一扇門后，選手可自由選擇帶著目前獎金離開，還是繼續(xù)挑戰(zhàn)后面的門以獲得更多的夢想基金，但是一旦回答錯誤，游戲結(jié)束并將之前獲得的所有夢想基金清零；整個游戲過程中，選手有一次求助機會，選手可以詢問親友團成員以獲得正確答案．
1-5號門對應(yīng)的家庭夢想基金依次為3000元，6000元，8000元、12000元、24000元（以上基金金額為打開大門后的累積金額）設(shè)某選手正確回答每扇門的歌曲名字的概率均為Pi且P_i=$\frac{6-i}{7-i}$（i=1，2，…，5），親友團正確回答每一扇門的歌曲名字的概率均為$\frac{1}{5}$，該選手正確回答每一扇門的歌名后選擇繼續(xù)挑戰(zhàn)后面的門的概率均為$\frac{1}{2}$；
（1）求選手在第三扇門使用求助且最終獲得12000元家庭夢想基金的概率；
（2）若選手在整個游戲過程中不使用求助，且獲得的家庭夢想基金數(shù)額為X元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）記事件“選手正確回答第i扇門歌曲”為Ai記事件“親友團正確回答歌曲名字”為B，記事件“回答正確后選擇繼續(xù)挑戰(zhàn)”為C，第三扇門選手答不出才求助，由此能求出選手在第三扇門使用求助且最終獲得12000元家庭夢想基金的概率．
（2）X可能的取值有：0，3000，6000，8000，12000，24000，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）記事件“選手正確回答第i扇門歌曲”為Ai
記事件“親友團正確回答歌曲名字”為B，
記事件“回答正確后選擇繼續(xù)挑戰(zhàn)”為C，
則對應(yīng)事件的概率分別為$P（{A_1}）=\frac{5}{6}，P（{A_2}）=\frac{4}{5}，P（{A_3}）=\frac{3}{4}，P（{A_4}）=\frac{2}{3}，P（{A_5}）=\frac{1}{2}$，
$P（B）=\frac{1}{5}，P（C）=\frac{1}{2}$
因此題目所求概率為P（A₁）P（A₂）P（$\overline{{A}_{3}}$）P（A₄）P（B）P⁴（C）=$\frac{5}{6}×\frac{4}{5}×\frac{1}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{5}×\frac{1}{{2}^{4}}$=$\frac{1}{720}$．
注意：第三扇門選手答不出才求助
（2）X可能的取值有：0，3000，6000，8000，12000，24000，
$P（X=3000）=\frac{5}{6}\frac{1}{2}=\frac{5}{12}$，
$P（X=6000）=\frac{5}{6}\frac{4}{5}\frac{1}{2^2}=\frac{1}{6}$，
$P（X=8000）=\frac{5}{6}\frac{4}{5}\frac{3}{4}\frac{1}{2^3}=\frac{1}{16}$，
$P（X=12000）=\frac{5}{6}\frac{4}{5}\frac{3}{4}\frac{2}{3}\frac{1}{2^4}=\frac{1}{48}$，
$P（X=24000）=\frac{5}{6}\frac{4}{5}\frac{3}{4}\frac{2}{3}\frac{1}{2}\frac{1}{2^4}=\frac{1}{96}$，
$P（X=0）=1-P（3000）-P（6000）-P（8000）-P（12000）-P（24000）=\frac{31}{96}$，
∴X的分布列為

X	0	3000	6000	8000	12000	24000
P	$\frac{31}{96}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{48}$	$\frac{1}{96}$

∴EX=0×$\frac{31}{96}$+3000×$\frac{5}{12}$+6000×$\frac{1}{6}$+8000×$\frac{1}{16}$+12000×$\frac{1}{48}$+24000×$\frac{1}{96}$=3250．
注意：最后一次答對無需再選擇．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意對立事件概率計算公式的合理運用．