Question

5．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x²=4$\sqrt{2}$y的焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線x=2與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，P點(diǎn)位于第一象限，A，B是橢圓上位于直線x=2兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足∠APQ=∠BPQ，問直線AB的斜率是否為定值，如果為定值，求出斜率的值；如果不為定值，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），可得$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．由拋物線x²=4$\sqrt{2}$y的焦點(diǎn)$（0，\sqrt{2}）$，可得b=$\sqrt{2}$，又a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（2）把x=2代入橢圓方程解得P（2，1），Q（2，-1）．當(dāng)點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足∠APQ=∠BPQ，可得直線PA與PB的斜率相為相反數(shù)．不妨設(shè)k_PA=k＞0，則k_PB=-k．（k≠0）．可得直線PA的方程為：y-1=k（x-2），直線PB的方程：y-1=-k（x-2），分別與橢圓方程聯(lián)立解得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再利用斜率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），可得$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
由拋物線x²=4$\sqrt{2}$y的焦點(diǎn)$（0，\sqrt{2}）$，可得b=$\sqrt{2}$，又a²=b²+c²，
聯(lián)立解得：$b=\sqrt{2}$，a=2$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{6}$．
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）把x=2代入橢圓方程可得：$\frac{4}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，解得y=±1．∴P（2，1），Q（2，-1）．
∵當(dāng)點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足∠APQ=∠BPQ，∴直線PA與PB的斜率相為相反數(shù)，
不妨設(shè)k_PA=k＞0，則k_PB=-k．（k≠0）．
則直線PA的方程為：y-1=k（x-2），直線PB的方程：y-1=-k（x-2），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y-1=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，解得：（1+4k²）x²+（8k-16k²）x+16k²-16k-4=0，
∵2x_A=$\frac{16{k}^{2}-16k-4}{1+4{k}^{2}}$，
∴x_A=$\frac{8{k}^{2}-8k-2}{1+4{k}^{2}}$，y_A=k（x_A-2）+1=$\frac{-8{k}^{2}-4k}{1+4{k}^{2}}$．
同理可得：x_B=$\frac{8{k}^{2}+8k-2}{1+4{k}^{2}}$，y_B=$\frac{-8{k}^{2}+4k}{1+4{k}^{2}}$．
∴k_AB=$\frac{{y}_{B}-{y}_{A}}{{x}_{B}-{x}_{A}}$=$\frac{1}{2}$．
∴直線AB的斜率是定值，為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．