Question

【題目】如圖（一），在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥BC，AB=BC=CP，D是CP的中點，將△PAD沿AD折起，使點P到達點P′的位置得到圖（二），點M為棱P′C上的動點．

（1）當M在何處時，平面ADM⊥平面P′BC，并證明；

（2）若AB=2，∠P′DC=135°，證明：點C到平面P′AD的距離等于點P′到平面ABCD的距離，并求出該距離．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）取中點M，先證與DM，AD垂直，進而證明AD⊥平面DC，再證明平面BC⊥平面ADM； （2）利用轉換頂點三棱錐體積不變底面積相等易證點C到平面AD的距離等于點到平面ABCD的距離,并求該距離.

解：（1）當點M為C的中點時，平面ADM⊥平面BC，

證明如下：∵D=DC，M為C中點，

∴C⊥DM，

∵AD⊥DP，AD⊥DC，

∴AD⊥平面DC，

∴AD⊥C，

∴C⊥平面ADM，

∴平面BC⊥平面ADM；

（2）

證明：在平面CD上作H⊥CD于H，

由（1）中AD⊥平面DC，

可知平面CD⊥平面ABCD，

∴H⊥平面ABCD，

由題意得D=2，∠DH=45°，

∴H=，

又，

設點C到平面AD的距離為h，

即=，

由題意△ADC≌△AD，

∴H=h，

故點C到平面AD的距離等于點到平面ABCD的距離，且距離為．