【題目】如果既約分?jǐn)?shù)滿足為正整數(shù)),則稱牛分?jǐn)?shù)”.現(xiàn)將所有的牛分?jǐn)?shù)按遞增順序排成一個數(shù)列,稱為牛數(shù)列”.證明對于牛數(shù)列中的任兩個相鄰項、都滿足

【答案】見解析

【解析】

對任一正整數(shù),將牛數(shù)列中分母不大于的子數(shù)列記為

當(dāng)時,數(shù)列顯然滿足條件.

進(jìn)行歸納.

據(jù)數(shù)列知,當(dāng)時結(jié)論成立.

設(shè)結(jié)論對于成立,考慮數(shù)列

注意到,而中的分?jǐn)?shù)滿足:分母,

設(shè)、中的一對相鄰分?jǐn)?shù).

如果它們在中也相鄰,則顯然滿足條件;

如果它們在中不相鄰,即有中的分?jǐn)?shù)插入它們之間(,),即(插入的分?jǐn)?shù)中總有一個與相鄰,不妨設(shè)相鄰).

于是,. ①

所以,

又易知,分?jǐn)?shù)也介于之間(這是由于,).

注意到,知互質(zhì),即為既約分?jǐn)?shù).

,由,相乘得

,得

,且、中相鄰,則,且式①中等號成立.

從而,,這與矛盾.

因此,

若分?jǐn)?shù),則. ②

、中的相鄰項,那么,對于前一對分?jǐn)?shù)而言有;

而對于后一對分?jǐn)?shù)而言有

因此,插入后的分?jǐn)?shù)列符合條件.

又由式②知,式①等號成立.于是,以及

,得. ③

因此,

中能夠插入中的一對相鄰分?jǐn)?shù)、之間的唯一分?jǐn)?shù),即在由數(shù)列過渡到數(shù)列時,不論相鄰分?jǐn)?shù)間是否插入了新的分?jǐn)?shù),所得數(shù)列都滿足條件.

因此,對于每個正整數(shù),結(jié)論成立.特別是數(shù)列滿足條件,故本題得證.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】求所有的實數(shù)組(a、b、c),使得對任何整數(shù)n,都有.其中,表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】口袋中放有20個球,其中白球9個、紅球5個、黑球6個,現(xiàn)從中任取10個球,使得白球不少于個不多于7個,紅球不少于2個不多于5個、黑球不多于3個的取法種數(shù)是( )

A. 14 B. 24

C. 13 D. 36

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】近年來,我國工業(yè)經(jīng)濟發(fā)展迅速,工業(yè)增加值連年攀升,某研究機構(gòu)統(tǒng)計了近十年(從2008年到2017年)的工業(yè)增加值(萬億元),如下表:

年份

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

年份序號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

工業(yè)增加值

13.2

13.8

16.5

19.5

20.9

22.2

23.4

23.7

24.8

28

依據(jù)表格數(shù)據(jù),得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

5.5

20.6

82.5

211.52

129.6

(1)根據(jù)散點圖和表中數(shù)據(jù),此研究機構(gòu)對工業(yè)增加值(萬億元)與年份序號的回歸方程類型進(jìn)行了擬合實驗,研究人員甲采用函數(shù),其擬合指數(shù);研究人員乙采用函數(shù),其擬合指數(shù);研究人員丙采用線性函數(shù),請計算其擬合指數(shù),并用數(shù)據(jù)說明哪位研究人員的函數(shù)類型擬合效果最好.(注:相關(guān)系數(shù)與擬合指數(shù)滿足關(guān)系).

(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及統(tǒng)計值,建立關(guān)于的回歸方程(系數(shù)精確到0.01);

(3)預(yù)測到哪一年的工業(yè)增加值能突破30萬億元大關(guān).

附:樣本 的相關(guān)系數(shù),

,,.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在一次購物抽獎活動中,假設(shè)某10張券中有一等獎券2張,每張可獲價值50元的獎品;有二等獎券2張,每張可獲價值10元的獎品;其余6張沒有獎.某顧客從此10張獎券中任抽2張,求:

1)該顧客中獎的概率;

2)該顧客獲得的獎品總價值X元的概率分布列.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的離心率為分別為的左、右頂點,上異于的動點,面積的最大值為2.

(1)求橢圓的方程;

(2)證明:直線與直線的斜率乘積為定值;

(3)設(shè)直線,分別交直線兩點,以為直徑作圓,當(dāng)圓的面積最小時,求該圓的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】難度系數(shù)反映試題的難易程度,難度系數(shù)越大,題目得分率越高,難度也就越小.難度系數(shù)的計算公式為,其中,為難度系數(shù),為樣本平均失分,為試卷總分(一般為100分或150分).某校高三年級的李老師命制了某專題共5套測試卷(每套總分150分),用于對該校高三年級480名學(xué)生進(jìn)行每周測試.測試前根據(jù)自己對學(xué)生的了解,預(yù)估了每套試卷的難度系數(shù),如下表所示:

試卷序號

1

2

3

4

5

考前預(yù)估難度系數(shù)

0.7

0.64

0.6

0.6

0.55

測試后,隨機抽取了50名學(xué)生的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計,結(jié)果如下:

試卷序號

1

2

3

4

5

實測平均分

102

99

93

93

87

1)根據(jù)試卷2的難度系數(shù)估計這480名學(xué)生第2套試卷的平均分;

2)從抽樣的50名學(xué)生的5套試卷中隨機抽取2套試卷,記這2套試卷中平均分超過96分的套數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;

3)試卷的預(yù)估難度系數(shù)和實測難度系數(shù)之間會有偏差.設(shè)為第套試卷的實測難度系數(shù),并定義統(tǒng)計量,若,則認(rèn)為本專題的5套試卷測試的難度系數(shù)預(yù)估合理,否則認(rèn)為不合理.試檢驗本專題的5套試卷對難度系數(shù)的預(yù)估是否合理.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在三棱錐中,平面平面,,,.

(1)證明:

(2)求直線與平面所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知五棱錐PABCDE,其中ABE,PCD均為正三角形,四邊形BCDE為等腰梯形,BE=2BC=2CD=2DE=4,PBPE

Ⅰ)求證:平面PCD⊥平面ABCDE;

Ⅱ)若線段AP上存在一點M,使得三棱錐PBEM的體積為五棱錐PABCDE體積的,求AM的長.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案