如圖，已知圓O的直徑AB=4，定直線L到圓心的距離為4，且直線L⊥直線AB。點P是圓O上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別交L與M、N點。
試建立適當?shù)闹苯亲鴺讼�，解決下列問題：

（1）若∠PAB=30°，求以MN為直徑的圓方程；
（2）當點P變化時，求證：以MN為直徑的圓必過圓O內的一定點。

（1）；（2）詳見解析

解析試題分析：（1）由已知得，又，則根據(jù)斜率的關系，且過點（2，0），可求，分別求直線與的交點的坐標，進而可求以為直徑的圓的方程；（2）
設，由直線和的方程，分別求與的交點，得，利用勾股定理求以為直徑的圓截軸的弦長為，長度為定值，故圓過定點.（1、該題還可以根據(jù)兩直線的垂直關系設直線方程，斜率分別為和，方法如上；2、對于探索型和開放型題目，大膽的猜想和必要的論證是解決問題非常好的方法）.
試題解析：建立如圖所示的直角坐標系，⊙O的方程為，直線L的方程為.
（1）∵∠PAB=30°，∴點P的坐標為，∴，,將x=4代入，得,∴MN的中點坐標為（4，0），MN=,∴以MN為直徑的圓的方程為,同理，當點P在x軸下方時，所求圓的方程仍是；
（2）設點P的坐標為，∴（），∴，∵，將x=4代入，得，，∴，MN=，MN的中點坐標為，
以MN為直徑的圓截x軸的線段長度為
為定值�！唷�必過⊙O內定點.
考點：1、直線和圓的方程；2、直線被圓所截的弦長計算方法；3、直線和圓的位置關系.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知以點C (t∈R，t≠0)為圓心的圓與x軸交于點O、A，與y軸交于點O、B，其中O為原點．
(1)求證：△AOB的面積為定值；
(2)設直線2x＋y－4＝0與圓C交于點M、N，若|OM|＝|ON|，求圓C的方程；
(3)在(2)的條件下，設P、Q分別是直線l：x＋y＋2＝0和圓C的動點，求|PB|＋|PQ|的最小值及此時點P的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知圓經過，兩點，且在兩坐標軸上的四個截距之和為2.
（1）求圓的方程；
（2）若為圓內一點，求經過點被圓截得的弦長最短時的直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系中，點，直線。設圓的半徑為，圓心在上。

（1）若圓心也在直線上，過點作圓的切線，求切線的方程；
（2）若圓上存在點，使，求圓心的橫坐標的取值范圍。．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，銳角的內心為，過點作直線的垂線，垂足為，點為內切圓與邊的切點.

（Ⅰ）求證：四點共圓；
（Ⅱ）若，求的度數(shù).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知以點C (t∈R，t≠0)為圓心的圓與x軸交于點O、A，與y軸交于點O、B，其中O為原點．
(1)求證：△AOB的面積為定值；
(2)設直線2x＋y－4＝0與圓C交于點M、N，若OM＝ON，求圓C的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知圓關于直線對稱,圓心在第二象限,半徑為.
(1)求圓的方程;
(2)是否存在直線與圓相切,且在軸、軸上的截距相等？若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知直線L：x-2y-5=0與圓C：x2+y2=50.求：
（1）交點A,B的坐標；（2）△AOB的面積

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分10分）
已知圓M過兩點C（1，－1）、D（－1，1）且圓心M在直線x+y-2=0上。
（1）、求圓M的方程
（2）、設P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA、PB是圓M的兩條切線，A、B為切點，求四邊形PAMB的面積的最小值。

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