【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x2ex﹣1﹣ x3﹣x2(x∈R).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),用數(shù)學(xué)歸納法證明:n∈N* , ex﹣1> (其中n!=1×2×…×n).
【答案】
(1)解:f′(x)=2xex﹣1+x2ex﹣1﹣x2﹣2x=x(x+2)(ex﹣1﹣1),
令f′(x)=0,可得x1=﹣2,x2=0,x3=1.
當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表:
x | (﹣∞,﹣2) | ﹣2 | (﹣2,0) | 0 | (0,1) | 1 | (1,+∞) |
f'(x) | ﹣ | 0 | + | 0 | ﹣ | 0 | + |
f(x) | ↓ | 極小值 | ↑ | 極大值 | ↓ | 極小值 | ↑ |
所以函數(shù)y=f(x)的增區(qū)間為(﹣2,0)和(1,+∞),減區(qū)間為(﹣∞,﹣2)和(0,1)
(2)證明:設(shè)gn(x)=ex﹣1﹣ ,
當(dāng)n=1時(shí),只需證明g1(x)=ex﹣1﹣x>0,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g1′(x)=ex﹣1﹣1>0,
所以g1(x)=ex﹣1﹣x在(1,+∞)上是增函數(shù),
所以g1(x)>g1(1)=e0﹣1=0,即ex﹣1>x;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),假設(shè)n=k時(shí)不等式成立,即gk(x)=ex﹣1﹣ >0,
當(dāng)n=k+1時(shí),
因?yàn)間′k+1(x)=ex﹣1﹣ =ex﹣1﹣ >0,
所以gk+1(x)在(1,+∞)上也是增函數(shù).
所以gk+1(x)>gk+1(1)=e0﹣ >0,
即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立.
由歸納原理,知當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),n∈N*,ex﹣1>
【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,關(guān)鍵點(diǎn)有二,一是求對(duì)導(dǎo)函數(shù),二是解不等式f′(x)>0,得到x的范圍,再兼顧函數(shù)的定義域,列出當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況表,將能很輕松的解答問題;(2)本問根據(jù)要證明的不等式:n∈N* , ex﹣1> .構(gòu)造出函數(shù)設(shè)gn(x)=ex﹣1﹣ ,在利用數(shù)學(xué)歸納法證明出當(dāng)n∈N*時(shí)有假設(shè)n=k時(shí)不等式成立,即gk(x)=ex﹣1﹣ >0,這還要借助于導(dǎo)數(shù)來解答.
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)學(xué)歸納法的定義對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法.
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【題目】在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且三角形的面積為S= bccosA.
(1)求角A的大;
(2)若c=8,點(diǎn)D在AC邊上,且CD=2,cos∠ADB=﹣ ,求a的值.
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【題目】定義在R上的偶函致y=f(x),恒有f(x+4)=f(x)﹣f(﹣2)成立,且f(0)=1,當(dāng)0≤x1<x2≤2時(shí), <0,則方程f(x)﹣lg|x|=0的根的個(gè)數(shù)為( )
A.12
B.10
C.6
D.5
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【題目】已知實(shí)數(shù)λ>0,設(shè)函數(shù)f(x)=eλx﹣x.
(Ⅰ)當(dāng)λ=1時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;
(Ⅱ)若對(duì)任意x∈(0,+∞),不等式f(x)≥0恒成立,求λ的最小值.
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且滿足an+Sn=2.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求證數(shù)列{an}中不存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列.
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【題目】如下圖所示的幾何體中, 為三棱柱,且,四邊形為平行四邊形, , .
(1)求證: ;
(2)若,求證: ;
(3)若,二面角的余弦值為若,求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,離心率為,設(shè)直線的斜率是,且與橢圓交于, 兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(Ⅱ)若直線在軸上的截距是,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(Ⅲ)以為底作等腰三角形,頂點(diǎn)為,求的面積.
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【題目】已知是定義在上的奇函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí), ,若當(dāng)時(shí), 恒成立,求的最小值;
(2)若的圖像關(guān)于對(duì)稱,且時(shí), ,求當(dāng)時(shí), 的解析式;
(3)當(dāng)時(shí), .若對(duì)任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知F1 , F2為橢圓 的左、右焦點(diǎn),F(xiàn)2在以 為圓心,1為半徑的圓C2上,且|QF1|+|QF2|=2a.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)過點(diǎn)P(0,1)的直線l1交橢圓C1于A,B兩點(diǎn),過P與l1垂直的直線l2交圓C2于C,D兩點(diǎn),M為線段CD中點(diǎn),求△MAB面積的取值范圍.
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