Question

已知函數(shù)f（x）=x²，g（x）=2elnx（x＞0）（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求F（x）=f（x）-g（x）（x＞0）的單調(diào)區(qū)間及最小值；
（2）是否存在一次函數(shù)y=kx+b（k，b∈R），使得f（x）≥kx+b且g（x）≤kx+b對一切x＞0恒成立？若存在，求出該一次函數(shù)的表達式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：存在型,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的正負性求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最最值；
（2）由函數(shù)的圖象分析，如果存在一次函數(shù)，應(yīng)該是兩曲線的一條公共切線，先提出假設(shè)，再給出證明．

解答： 解：（1）F′（x）=x²-2elnx
∴F′（x）=2（x-

e

x

）=

2(x2-e)

x

（x＞0），
令F′（x）=0，得x=

e

（x=-

e

舍），
∴當(dāng)0＜x＜

e

時，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）在（0，

e

）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞

e

時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）在（

e

，+∞）上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=

e

時，F(xiàn)（x）有極小值，也是最小值，
即F（x）_min=F（

e

）=e-2eln

e

=0．
∴F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（

e

，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，

e

），最小值為0．
（2）由（1）知，f（x）與g（x）的圖象有且僅有一個公共點（

e

，e），
∴猜想：一次函數(shù)的圖象就是f（x）與g（x）的圖象在點（

e

，e）處的公切線，
其方程為y=2

e

x-e．
下面證明：當(dāng)x＞0時，f（x）≥2

e

x-e，且g（x）≤2

e

x-e恒成立．
∵f（x）-（2

e

x-e）=（x-

e

）²≥0，∴f（x）≥2

e

x-e對x＞0恒成立．
又令G（x）=2

e

x-e-g（x）=2

e

x-e-2eln x，∴G′（x）=2

e

-

2e

x

=

2 e (x- e )

x

，
∴當(dāng)0＜x＜

e

時，G′（x）＜0，G（x）在（0，

e

）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞

e

時，G′（x）＞0，G（x）在（

e

，+∞）上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=

e

時，G（x）有極小值，也是最小值，
即G（x）_min=G（

e

）=2e-e-2eln 

e

=0，∴G（x）≥0，即g（x）≤2

e

x-e恒成立．
故存在一次函數(shù)y=2

e

x-e，使得當(dāng)x＞0時，f（x）≥2

e

x-e，且g（x）≤2

e

x-e恒成立．

點評：本題考查了，導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)最值，證明恒成立問題．運用于數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想，化歸思想．是一道導(dǎo)數(shù)應(yīng)用于的綜合題，屬于中檔題．