Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）設(shè)二面角D-AE-C為60°，AP=1，AD=

3

，求三棱錐E-ACD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連接BD交AC于O點(diǎn)，連接EO，只要證明EO∥PB，即可證明PB∥平面AEC；
（Ⅱ）延長(zhǎng)AE至M連結(jié)DM，使得AM⊥DM，說(shuō)明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱錐E-ACD的體積．

解答： （Ⅰ）證明：連接BD交AC于O點(diǎn)，連接EO，
∵O為BD中點(diǎn)，E為PD中點(diǎn)，
∴EO∥PB，（2分）
EO?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）
（Ⅱ）解：延長(zhǎng)AE至M連結(jié)DM，使得AM⊥DM，
∵四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，
∴CD⊥平面AMD，二面角D-AE-C為60°，
∴∠CMD=60°，
∵AP=1，AD=

3

，∠ADP=30°，
∴PD=2，
E為PD的中點(diǎn)．AE=1，
∴DM=

3

2

，
CD=

3

2

×tan60°=

3

2

．
三棱錐E-ACD的體積為：

1

3

×

1

2

AD•CD•

1

2

PA=

1

3

×

1

2

×

3

×

3

2

×

1

2

×1=

3

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定，幾何體的體積的求法，二面角等指數(shù)的應(yīng)用，考查邏輯思維能力，是中檔題．