設(shè)三次函數(shù)h(x)=px3+qx2+rx+s滿足下列條件:h(1)=1,h(-1)=-1,在區(qū)間(-1,1)上分別取得極大值1和極小值-1,對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)分別為a,b
(1)證明:a+b=0;
(2)求h(x)的表達(dá)式;
(3)已知三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d在(-1,1)上滿足-1<f(x)<1.證明當(dāng)|x|>1時(shí),有|f(x)|<|h(x)|
【答案】分析:(1)由h(1)=1,h(-1)=-1可得q+s=0,r+p=1,代入整理可得h(x)=px3-sx2+(1-p)x+s,對(duì)函數(shù)求導(dǎo),結(jié)合方程的根與系數(shù)的關(guān)系整理;
(2)由(1)的結(jié)論可求s=q=0,根據(jù)h(a)=1,h′(a)=0可求得答案;
(3)|f(x)|<|h(x)|?f2(x)<g2(x)?[f(x)+g(x)]•{f(x)-g(x)]<0,由題意有|f(1)|<1,|f(-1)|<1,構(gòu)造函數(shù)F(x)=h(x)+f(x),G(x)=h(x)-f(x),結(jié)合已知研究函數(shù)F(x)、G(x)在(-1,1)上的極值,從而可得F(x)•G(x)<0,可證結(jié)論.
解答:解:(1)由h(1)=1,h(-1)=-1得q+s=0,r+p=1
h(x)=px3-sx2+(1-p)x+s
h’(x)=3px2-2sx+1-p
因?yàn)椋?1,1)內(nèi)有兩極值且h(1)=1,所以有p>0,h(α)+h(β)=p(α33)-s(α22)+(1-p)(α+β)+s=0(*)
又由韋達(dá)定理得,
代入(*)中得
因?yàn)閜>0,a+bÎ(-2,2),所以
所以有α+β=0
(2)由α+β=0得s=0,q=0
所以h(x)=px3+(1-p)x,又h(α)=1,h'(α)=0
消去p得(2α+1)(α-1)2=0所以有
所以有h(x)=4x3-3x
(3)因?yàn)閨x|<1時(shí)|f(x)|<1,所以有|f(1)|<1,|f(-1)|<1
令F(x)=h(x)+f(x),G(x)=h(x)-f(x)
則有F(1)=1+f(1)>0,F(xiàn)()=-1+f()<0,
F()=1+f(-)>0,F(xiàn)(-1)=-1+f(-1)<0
所以有F(x)在(-1,1)內(nèi)有極大值和極小值,
當(dāng)x>1時(shí),F(xiàn)(x)>0,當(dāng)x<-1時(shí),F(xiàn)(x)<0
同理有:G(1)=1-f(1)30,G()=-1-f()<0,G()=1-f(-)>0,
G(-1)=-1-f(-1)£0
所以有G(x)在(-1,1)內(nèi)有極大值和極小值,
當(dāng)x>1時(shí),G(x)>0,當(dāng)x<-1時(shí),G(x)<0
所以當(dāng)|x|>1時(shí),有F(x)•G(x)>0即h2(x)>f2(x)即|h(x)|>|f(x)|
點(diǎn)評(píng):本題是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)的綜合運(yùn)用,主要考查了考試的運(yùn)用知識(shí)的能力及分析問題、解決問題的能力,還要求考試具備一定的邏輯推理能力,試題的難度較大.
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h(0)<h(1)<h(-1)
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設(shè)三次函數(shù)h(x)=px3+qx2+rx+s滿足下列條件:h(1)=1,h(-1)= -1,在區(qū)間(-1,1)上分別取得極大值1和極小值-1,對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)分別為a,b。

(1)證明:a+b=0

(2)求h(x)的表達(dá)式

(3)已知三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d在(-1,1)上滿足-1<f(x)<1。證明當(dāng)|x|>1時(shí),有|f(x)|<|h(x)|

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