設(shè)三次函數(shù)h(x)=px3+qx2+rx+s滿足下列條件:h(1)=1,h(-1)= -1,在區(qū)間(-1,1)上分別取得極大值1和極小值-1,對應(yīng)的極點分別為a,b。

(1)證明:a+b=0

(2)求h(x)的表達(dá)式

(3)已知三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d在(-1,1)上滿足-1<f(x)<1。證明當(dāng)|x|>1時,有|f(x)|<|h(x)|

(1)見解析(2)h(x)=4x3-3x(3)見解析


解析:

(1)解:由f(1)=1,f(-1)=-1得q+s=0,r+p=1

h(x)=px3-sx2+(1-p)x+s

h’(x)=3px2-2sx+1-p

因為(-1,1)內(nèi)有兩極值且f(1)=1,所以有p>0

=0(*)

又由韋達(dá)定理得,即代入(*)中得

因為p>0,a+b??(-2,2),所以

所以有

(2)解:由得s=0,q=0

所以h(x)=px3+(1-p)x,又

消去p得所以有

所以有h(x)=4x3-3x

(3)解:因為|x|<1時|f(x)|<1,所以有|f(1)|??1,|f(-1)|??1

令F(x)=h(x)+f(x),G(x)=h(x)-f(x)

則有F(1)=1+f(1)??0,F()=-1+f()<0,F()=1+f(-)>0,F(-1)=-1+f(-1)??0

所以有F(x)在(-1,1)內(nèi)有極大值和極小值,當(dāng)x>1時,F(xiàn)(x)>0,當(dāng)x<-1時,F(xiàn)(x)<0

同理有:G(1)=1-f(1)??0,  G()=-1-f()<0,  G()=1-f(-)>0,

G(-1)=-1-f(-1)??0

所以有G(x)在(-1,1)內(nèi)有極大值和極小值,當(dāng)x>1時,G(x)>0,當(dāng)x<-1時,G(x)<0

所以當(dāng)|x|>1時,有F(x)G(x)>0即h2(x)>f2(x)即|h(x)|>|f(x)

練習(xí)冊系列答案
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(1)證明:a+b=0;
(2)求h(x)的表達(dá)式;
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①若f(1)=1,則f(-1)=
1
1
;
②設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),則h(-1),h(0),h(1)的大小關(guān)系為
h(0)<h(1)<h(-1)
h(0)<h(1)<h(-1)
.(用“<”連接)

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(1)證明:a+b=0;
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②設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),則h(-1),h(0),h(1)的大小關(guān)系為(    )。(用“<”連接)

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