Question

如圖1,已知在△ABC中,=a,=b,=c.若a·b=b·c=c·a.求證:△ABC為正三角形.

圖1

Answer 1

活動:教師引導(dǎo)學(xué)生回顧,向量具有二重性,一方面具有“形”的特點(diǎn),因此有了幾何運(yùn)算;另一方面又具有一套優(yōu)良的代數(shù)運(yùn)算性質(zhì),因此又有了代數(shù)運(yùn)算.對于這兩種運(yùn)算,前者難度大,靈活多變,對學(xué)生來說是個難點(diǎn),后者學(xué)生感到熟悉,易于掌握,但應(yīng)讓學(xué)生明了,這兩種方法都要掌握好,近幾年高考題的解答都是以兩種解法給出.本題給出的是三角形,對于某些幾何命題的抽象的證明,自然可以轉(zhuǎn)化為向量的幾何運(yùn)算問題來解決,請同學(xué)們在探究中要注意仔細(xì)體會,領(lǐng)悟其實(shí)質(zhì).教學(xué)中,教師要放手大膽地讓學(xué)生自己去探究,鼓勵學(xué)生從不同的角度去觀察、去發(fā)現(xiàn).真正做到一題多用,一題多變,串聯(lián)知識,串聯(lián)方法,使學(xué)生在探究過程中掌握孤零知識,提高思維能力,提高復(fù)習(xí)效率.

證法一:由題意,得a+b+c=0,∴c=-(a+b).

又∵b·c=c·a,∴c·(a-b)=0.

∴-a²+b²=0.∴|a|²=|b|²,即|a|=|b|.

同理可得|c|=|b|,∴|a|=|b|=|c|.

∴△ABC為正三角形.

證法二:由題意得a+b+c=0,∴a=-b-c,b=-a-c.

∴a²=b²+c²+2b·c,b²=a²+c²+2a·c.

而b·c=c·a(已知),

∴a²-b²=b²-a².

∴a²=b².∴|a|²=|b|².

∴|a|=|b|.

同理可得|c|=|b|,∴|a|=|b|=|c|.

∴△ABC為正三角形.

圖2

證法三:如圖2,以AB,BC為鄰邊作ABCD,則=a,=-,

∴=a-c.

又∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0.

∴b·=0.∴b⊥.

∴ABCD為菱形.∴AB=BC.同理可得BC=AC,

∴△ABC為正三角形.

證法四:取的中點(diǎn)E,連接AE,則

=(+)=(c-b),

∴·a=(c-b)·a=0.

∴⊥a.∴AB=AC.

同理可得BC=AC,

∴△ABC為正三角形.

點(diǎn)評:本題給出了四種證法,教師要善于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一題多解,這是一種很有效的辦法.數(shù)學(xué)教學(xué)中,一題多解訓(xùn)練是培養(yǎng)學(xué)生思維靈活的一種良好手段.通過一題多解的訓(xùn)練能溝通知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,提高學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的基礎(chǔ)知識與基本技能解決實(shí)際問題的能力,逐步學(xué)會舉一反三的本領(lǐng),在教材安排的例題中,有相當(dāng)一部分題目存在一題多解的情況,教師要引導(dǎo)學(xué)生善于挖掘.