Question

已知函數(shù)f（x）=sin

x

2

，x∈R，將函數(shù)y=f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的

1

2

倍（縱坐不變），得到函數(shù)g（x）的圖象，則關(guān)于f（x）•g（x）有下列命題：
①函數(shù)y=f（x）•g（x）是奇函數(shù)；
②函數(shù)y=f（x）•g（x）不是周期函數(shù)；
③函數(shù)y=f（x）•g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（π，0）中心對稱；
④函數(shù)y=f（x）•g（x）的最大值為

3

3

．
其中真命題為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題可先根據(jù)圖象平移的規(guī)律求出g（x）的解析式，再研究函數(shù)f（x）•g（x）的奇偶性、周期性、對稱性和最值，從而選出正確選項(xiàng)．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=sin

x

2

，x∈R，
∴將函數(shù)y=f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的

1

2

倍（縱坐不變），函數(shù)g（x）=sinx．
∴f（x）•g（x）=sinx•sin

x

2

．
記h（x）=sinx•sin

x

2

．
（1）h（-x）=sin（-x）•sin（-

x

2

）=（-sinx）•（-sin

x

2

）=sinx•sin

x

2

．
∴h（-x）=h（x）．
∴h（x）是偶函數(shù)．
假設(shè)h（x）是奇函數(shù)，則h（x）=0恒成立，與h（x）=sinx•sin

x

2

矛盾．
故假設(shè)不成立．
∴h（x）不是奇函數(shù)．即①不成立．
（2）∵h(x+4π)=sin(x+4π)•sin

x+4π

2

=sinx•sin(

x

2

+2π)=sinx•sin

x

2

=h（x），
∴h（x）是周期函數(shù)．故②不成立．
（3）設(shè)P（x，y）是函數(shù)y=h（x）圖象上任意一點(diǎn)，
則 y=sinx•sin

x

2

．
點(diǎn)P（x，y）關(guān)于點(diǎn)（π，0）的對稱點(diǎn)是P′（2π-x，-y），
∵sin(2π-x)•sin

2π-x

2

=sinx•sin(π-

x

2

)=-sinx•sin

x

2

=-y
∴點(diǎn)是P′（2π-x，-y）也在函數(shù) y=sinx•sin

x

2

的圖象上．
∴函數(shù)y=f（x）•g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（π，0）中心對稱．
∴③成立．
（4）h（x）=sinx•sin

x

2

=2sin2

x

2

•cos

x

2

．
令cos

x

2

=t，則sin2

x

2

=1-t2．
H（x）=2（1-t²）t=-2t³+2t，（-1≤t≤1）
H′(t)=-6t2+2=-6(t-

3

3

)(t+

3

3

)．
當(dāng)-1＜x＜-

3

3

時(shí)，H′（x）＜0，H（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)-

3

3

＜x＜

3

3

時(shí)，H′（x）＞0，H（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)

3

3

＜x＜1時(shí)，H′（x）＜0，H（x）單調(diào)遞減．
∵H（-1）=2-2=0，H(

3

3

)=

4

9

3

，
∴H（x）的最大值為

4

9

3

．
∴④不成立．
故答案為③．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的圖象平移、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性、函數(shù)的最值，用到了換元法化簡，導(dǎo)數(shù)法求最值．本題雖然是填空題，但計(jì)算量較大，思維要求高，屬于中檔題．