Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，O為AC與BD的交點(diǎn)，AB^平面PAD，△PAD是正三角形，  
DC//AB，DA＝DC＝2AB.
（1）若點(diǎn)E為棱PA上一點(diǎn)，且OE∥平面PBC，求的值；
（2）求證：平面PBC^平面PDC.

Answer 1

（1）詳見解析;（2）詳見解析．

試題分析： （1）由題中所給條件，不難聯(lián)想到要運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理將線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行，即由所以，再結(jié)合平面幾何的知識易得：結(jié)合比例線段關(guān)系即可求得;（2）中要證明面面垂直，根據(jù)面面垂直的判定定理可轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，由題中的數(shù)量關(guān)系不難發(fā)現(xiàn)取的中點(diǎn)，連結(jié)，運(yùn)用解三角形的知識算出，問題即可得證．
試題解析： （1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240450047741786.png" style="vertical-align:middle;" />所以，
所以．                       3分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045004820794.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.
所以．                                   6分
（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045004945467.png" style="vertical-align:middle;" />是正三角形，，所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045004711302.png" style="vertical-align:middle;" />為的中點(diǎn)，所以.              8分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045005023637.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045005070591.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．
設(shè)，在等腰直角三角形中，．
在中，．
在直角梯形中，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045005195629.png" style="vertical-align:middle;" />，點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)，所以．
在中，．                    
在中，由，可知，所以．
12分
由，所以．
又，所以平面   14分