Question

如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN，要求M在AB上，N在AD上，且對(duì)角線MN過(guò)C點(diǎn)，已知AB=4米，AD=3米，設(shè)AN的長(zhǎng)為x米（x＞3）．
（1）要使矩形AMPN的面積大于54平方米，則AN的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
（2）求當(dāng)AM、AN的長(zhǎng)度是多少時(shí)，矩形花壇AMPN的面積最��？并求出最小面積．

Answer 1

分析：（1）求出矩形AMPN的長(zhǎng)與寬，計(jì)算其面積，利用面積大于54平方米，建立不等式，即可求得AN的長(zhǎng)的范圍；
（2）利用換元法，再利用基本不等式，即可求得面積的最小值．

解答：解：設(shè)AN的長(zhǎng)為x米（x＞3）
∵ABCD是矩形，∴

|DN|

|AN|

=

|DC|

|AM|

，∴|AM|=

4x

x-3

∴S_AMPN=|AN|•|AM|=

4x2

x-3

 （x＞3）----------（4分）
（1）由S_AMPN＞54，得 

4x2

x-3

＞54，
∵x＞3，∴（2x-9）（x-9）＞0
∴3＜x＜

9

2

或x＞9
∴AN長(zhǎng)的取值范圍是(3，

9

2

)∪(9，+∞）-----------（8分）
（2）令y=

4x2

x-3

，令t=x-3（t＞0）），則x=t+3----------（10分）
∴y=

4(t+3)2

t

=4(t+

9

t

+6)≥48
當(dāng)且僅當(dāng)t=

9

t

（t＞0），即t=3時(shí)取等號(hào)．----------（14分）
此時(shí)AN=6，AM=8，最小面積為48平方米．----------（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查矩形面積的計(jì)算，考查解不等式，考查基本不等式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)模型，屬于中檔題．