【題目】(本題滿分12分)如圖, 是圓的直徑,點是圓上異于的點, 垂直于圓所在的平面,且

)若為線段的中點,求證平面;

)求三棱錐體積的最大值;

)若,點在線段上,求的最小值.

【答案】)詳見解析;(;(

【解析】解法一:()在中,因為, 的中點,

所以.又垂直于圓所在的平面,所以

因為,所以平面

)因為點在圓上,

所以當(dāng)時, 的距離最大,且最大值為

,所以面積的最大值為

又因為三棱錐的高,故三棱錐體積的最大值為

)在中, , ,所以

同理,所以

在三棱錐中,將側(cè)面旋轉(zhuǎn)至平面,使之與平面共面,如圖所示.

當(dāng), 共線時, 取得最小值.

又因為, ,所以垂直平分,

中點.從而,

亦即的最小值為

解法二:()、()同解法一.

)在中, , ,

所以, .同理

所以,所以

在三棱錐中,將側(cè)面旋轉(zhuǎn)至平面,使之與平面共面,如圖所示.

當(dāng), 共線時, 取得最小值.

所以在中,由余弦定理得:

從而

所以的最小值為

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【題目】設(shè)函數(shù)

1)若函數(shù)fx)在處有極值,求函數(shù)fx)的最大值;

2)是否存在實數(shù)b,使得關(guān)于x的不等式上恒成立?若存在,求出b的取值范圍;若不存在,說明理由;

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【題目】有編號為10個零件,測量其直徑(單位:cm),得到下面數(shù)據(jù):

編號

直徑

1.51

1.49

1.49

1.51

1.49

1.51

1.47

1.46

1.53

1.47

其中直徑在區(qū)間內(nèi)的零件為一等品.

1)上述10個零件中,隨機抽取1個,求這個零件為一等品的概率.

2)從一等品零件中,隨機抽取2個;

①用零件的編號列出所有可能的抽取結(jié)果;

②求這2個零件直徑相等的概率.

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【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x)在點P(1,f(1))處的切線方程為y=3x+1,y=f(x)x=-2處有極值.

(1)f(x)的解析式.

(2)y=f(x)[-3,1]上的最大值.

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【題目】已知是自然對數(shù)的底數(shù),函數(shù)的定義域都是.

(1)求函數(shù)在點處的切線方程;

(2)判斷函數(shù)零點個數(shù);

(3)用表示的最小值,設(shè),,若函數(shù)上為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】如圖,在五面體中,側(cè)面是正方形,是等腰直角三角形,點是正方形對角線的交點,.

(1)證明:平面;

(2)若側(cè)面與底面垂直,求五面體的體積.

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【題目】若數(shù)列、滿足 (N*),則稱為數(shù)列的“偏差數(shù)列”.

(1)若為常數(shù)列,且為的“偏差數(shù)列”,試判斷是否一定為等差數(shù)列,并說明理由;

(2)若無窮數(shù)列是各項均為正整數(shù)的等比數(shù)列,且,為數(shù)列的“偏差數(shù)列”,求的值;

(3)設(shè),為數(shù)列的“偏差數(shù)列”,,,若對任意恒成立,求實數(shù)M的最小值.

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(2)求曲線的內(nèi)接矩形周長的最大值.

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