Question

（本小題滿分13分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓的離心率為，過橢圓右焦點作兩條互相垂直的弦AB與CD．當直線AB斜率為0時，．

（1）求橢圓的方程；

（2）求由A，B，C，D四點構(gòu)成的四邊形的面積的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）利用已知離心率和直線AB斜率為0時，，可求得a，b，c的值，從而得到橢圓標準方程；（2）因為AB⊥CD，故，將AB和CD所在直線方程分別與橢圓方程聯(lián)立，用斜率表示出|AB|和|CD|，然后利用函數(shù)思想，結(jié)合均值不等式可求得S的范圍.

試題解析：（1）由題意知，，則，

且AB斜率為0時，，

所以．所以橢圓的方程為． 4分

（2）① 當兩條弦中一條斜率為0時，另一條弦的斜率不存在，

由題意知； 5分

②當兩弦斜率均存在且不為0時，設，，

且設直線的方程為，

則直線的方程為．

將直線的方程代入橢圓方程中，并整理得，

所以． 8分

同理，． 9分

所以

，

當且僅當時取等號 11分

∴

綜合①與②可知， 13分

考點：橢圓標準方程，直線與橢圓位置關系，弦長公式，基本不等式.