Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=8，a₄=2，且滿足a_n+2-2a_n+1+a_n=0
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求S_n．

Answer 1

分析：（1）首先判斷數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，由a₁=8，a₄=2求出公差，代入通項(xiàng)公式即得．
（2）首先判斷哪幾項(xiàng)為非負(fù)數(shù)，哪些是負(fù)數(shù)，從而得出當(dāng)n＞5時(shí)，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a₅-（a₆+a₇+…+a_n）求出結(jié)果；當(dāng)n≤5時(shí)，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n當(dāng)，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出答案．

解答：解：（1）a_n+2-2a_n+1+a_n=0∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n
∴{a_n+1-a_n}為常數(shù)列，
∴{a_n}是以a₁為首項(xiàng)的等差數(shù)列，
設(shè)a_n=a₁+（n-1）d，a₄=a₁+3d，
∴d=

2-8

3

=-2，
∴a_n=10-2n．
（2）∵a_n=10-2n，令a_n=0，得n=5．
當(dāng)n＞5時(shí)，a_n＜0；當(dāng)n=5時(shí)，a_n=0；當(dāng)n＜5時(shí)，a_n＞0．
∴當(dāng)n＞5時(shí)，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a₅-（a₆+a₇+…+a_n）=T₅-（T_n-T₅）=2T₅-T_n，T_n=a₁+a₂+…+a_n．
當(dāng)n≤5時(shí)，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=T_n．
∴Sn=

9n-n2，(n≤5) n2-9n+40，(n＞5).

點(diǎn)評：考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，求出公差，用代入法直接可求；（2）問的關(guān)鍵是斷哪幾項(xiàng)為非負(fù)數(shù)，哪些是負(fù)數(shù)，屬于中檔題．