Question

在△ABC中，AB=4，AC=3，∠A=60°，點(diǎn)H是△ABC的垂心，設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，μ，使

AH

=λ

AB

+μ

AC

，則（　　）

• A、λ=

  1

  6

  ，μ=

  5

  9

• B、λ=

  2

  9

  ，μ=

  4

  9

• C、λ=

  1

  3

  ，μ=

  5

  9

• D、λ=

  1

  6

  ，μ=

  4

  9

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，由BD⊥AC，∠BAD=60°，AB=4，可得AD=

1

2

AB=2．因此

AC

=

3

2

AD

，由

AH

=λ

AB

+μ

AC

，可得

AH

=λ

AB

+

3μ

2

AD

，利用B，H，D三點(diǎn)共線(xiàn)，可得λ+

3μ

2

=1．同理由于C，H，E三點(diǎn)共線(xiàn)，可得

8

3

λ+μ=1．即可得出．

解答： 解：如圖所示，
∵BD⊥AC，∠BAD=60°，AB=4，
∴AD=

1

2

AB=2．
∴

AC

=

3

2

AD

，
∵

AH

=λ

AB

+μ

AC

，
∴

AH

=λ

AB

+

3μ

2

AD

，
∵B，H，D三點(diǎn)共線(xiàn)，∴λ+

3μ

2

=1．
由于C，H，E三點(diǎn)共線(xiàn)，同理可得：

AB

=

8

3

AE

，
∴

8

3

λ+μ=1．
聯(lián)立

λ+ 3 2 μ=1 8 3 λ+μ=1

，解得

λ= 1 6 μ= 5 9

．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形垂心的性質(zhì)、向量共線(xiàn)定理、共面向量基本定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．