已知點點分別是軸和軸上的動點，且，動點滿足，設(shè)動點的軌跡為E.
（1）求曲線E的方程；
（2）點Q（1,a），M,N為曲線E上不同的三點，且，過M,N兩點分別作曲線E的切線，記兩切線的交點為，求的最小值.
(1);(2).

試題分析：(1)設(shè),利用,用表示的坐標，然后利用,得到的方程，得到點軌跡;
（2）解法一：利用曲線方程,求出點坐標，設(shè)，，,通過聯(lián)立方程，得到的坐標，利用導數(shù)，列出過點的切線方程，解出點的坐標，然后再求的最小值，
解法二：利用導數(shù)，列出過點的切線方程，解出點的坐標，然后結(jié)合,能夠得到關(guān)于點所滿足的方程，再求出的最小值.
試題解析：（1）解：設(shè)
，由得     4分
（2）解法一：易知，設(shè)，，，
設(shè)的方程為
聯(lián)立方程消去，得，所以.
同理，設(shè)的方程為，.      6分
對函數(shù)求導，得，
所以拋物線在點處的切線斜率為，
所以切線的方程為，即.
同理，拋物線在點處的切線的方程為.     8分
聯(lián)立兩條切線的方程
解得，，
所以點的坐標為.因此點在直線上. 10分
因為點到直線的距離，
所以，當且僅當點時等號成立．
由，得，驗證知符合題意.
所以當時，有最小值.      12分
解法二：由題意，，設(shè)，，，
對函數(shù)求導，得，
所以拋物線在點處的切線斜率為，
所以切線的方程為，即.
同理，拋物線在點處的切線的方程為.
聯(lián)立兩條切線的方程
解得，，      8分
又
由得
所以點在直線上      10分
因為點到直線的距離，
所以，當且僅當點時等號成立．
有最小值.      12分
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知拋物線C的頂點在原點，開口向右，過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦長為2，過C上一點A作兩條互相垂直的直線交拋物線于P,Q兩點.

（1）若直線PQ過定點，求點A的坐標；
（2）對于第（1）問的點A，三角形APQ能否為等腰直角三角形？若能，試確定三角形APD的個數(shù)；若不能，說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)拋物線的頂點在原點，準線方程為，則拋物線的方程是（ ）
A．B．C．D．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是（   ）
A．
B．
C．1
D．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知點P是拋物線上一點，設(shè)P到此拋物線準線的距離是，到直線的距離是，則的最小值是

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

若拋物線的焦點在直線上，則_____；的準線方程為_____.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

過拋物線的焦點F作直線AB,CD與拋物線交于A、B、C、D四點，且,則的最大等于 (    )
A.-4
B.-16
C.4
D.-8

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

求滿足下列條件的拋物線的標準方程，并求對應(yīng)拋物線的準線方程．
(1)過點(－3，2)；
(2)焦點在直線x－2y－4＝0上．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)動點P(x,y)(x≥0)到定點F的距離比到y(tǒng)軸的距離大.記點P的軌跡為曲線C.
(1)求點P的軌跡方程;
(2)設(shè)圓M過A(1,0),且圓心M在P的軌跡上,BD是圓M在y軸上截得的弦,當M運動時弦長BD是否為定值?說明理由;
(3)過F作互相垂直的兩直線交曲線C于G、H、R、S,求四邊形GRHS面積的最小值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案