已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上.若橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)、的距離之和等于4.
(1)寫出橢圓的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo).
(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)、,當(dāng)的面積取得最大值時(shí),求直線的方程.
(1),焦點(diǎn)坐標(biāo)為,
(2)x=1.
解析試題分析:(1)根據(jù)題意,由于橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上.若橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)、的距離之和等于4.則可知2a=4,a=2,再根據(jù)題意得到點(diǎn)在橢圓上解得b=1,G故可知橢圓C的方程為,焦點(diǎn)坐標(biāo)為, 3分
(2)MN斜率不為0,設(shè)MN方程為. 4分
聯(lián)立橢圓方程:可得
記M、N縱坐標(biāo)分別為、,
則 7分
設(shè)
則,該式在單調(diào)遞減,所以在,即時(shí)取最大值.綜上,直線MN的方程為x=1. 10分
考點(diǎn):直線與橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)評:主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
過點(diǎn)C(0,1)的橢圓的離心率為,橢圓與x軸交于兩點(diǎn)、,過點(diǎn)C的直線與橢圓交于另一點(diǎn)D,并與x軸交于點(diǎn)P,直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q.
(I)當(dāng)直線過橢圓右焦點(diǎn)時(shí),求線段CD的長;
(II)當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)B時(shí),求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,橢圓的左頂點(diǎn)為,是橢圓上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱.
(1)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的值;
(2)若橢圓上存在點(diǎn),使得,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知拋物線的焦點(diǎn)在拋物線上.
(1)求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程;
(2)過拋物線上的動(dòng)點(diǎn)作拋物線的兩條切線、, 切點(diǎn)為、.若、的斜率乘積為,且,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn),直線方程為,直線與軸交于點(diǎn),、分別為橢圓的左右頂點(diǎn),已知,且.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn),求三角形面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓,直線l為圓的一條切線,且經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn),直線l的傾斜角為,記橢圓C的離心率為e.
(1)求e的值;
(2)試判定原點(diǎn)關(guān)于l的對稱點(diǎn)是否在橢圓上,并說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C:的離心率為,右焦點(diǎn)到直線 的距離為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線 與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),且線段AB中點(diǎn)恰好在直線上,求△OAB的面積S的最大值.(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合.(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)動(dòng)直線恒過點(diǎn)與拋物線交于A、B兩點(diǎn),與軸交于C點(diǎn),請你觀察并判斷:在線段MA,MB,MC,AB中,哪三條線段的長總能構(gòu)成等比數(shù)列?說明你的結(jié)論并給出證明.
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