已知橢圓C:的離心率為,右焦點到直線 的距離為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線 與橢圓C交于A、B兩點,且線段AB中點恰好在直線上,求△OAB的面積S的最大值.(其中O為坐標原點).

(I) .(II)

解析試題分析:(I)由題意得,所以,所求橢圓方程為.
(II)設,把直線代入橢圓方程得到
,因此,
所以中點,又在直線上,得
, 故,
所以,原點的距離為,
得到,當且僅當取到等號,檢驗成立.
考點:本題主要考查橢圓的標準方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,均值定理的應用。
點評:中檔題,求橢圓的標準方程,主要運用了橢圓的幾何性質(zhì),注意明確焦點軸和a,b,c的關(guān)系。曲線關(guān)系問題,往往通過聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,運用韋達定理。本題(2)利用弦長公式,確定得到三角形面積表達式,應用均值定理求得最大值。

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

橢圓的離心率為,兩焦點分別為,點M是橢圓C上一點,的周長為16,設線段MO(O為坐標原點)與圓交于點N,且線段MN長度的最小值為.
(1)求橢圓C以及圓O的方程;
(2)當點在橢圓C上運動時,判斷直線與圓O的位置關(guān)系.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上.若橢圓上的點到焦點的距離之和等于4.
(1)寫出橢圓的方程和焦點坐標.
(2)過點的直線與橢圓交于兩點、,當的面積取得最大值時,求直線的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

平面內(nèi)與兩定點連線的斜率之積等于非零常數(shù)的點的軌跡,加上 兩點,所成的曲線可以是圓,橢圓或雙曲線.
(Ⅰ)求曲線的方程,并討論的形狀與值的關(guān)系;
(Ⅱ)當時,對應的曲線為;對給定的,對應的曲線為,若曲線的斜率為的切線與曲線相交于兩點,且為坐標原點),求曲線的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

曲線都是以原點O為對稱中心、坐標軸為對稱軸、離心率相等的橢圓.點M的坐標是(0,1),線段MN是曲線的短軸,并且是曲線的長軸 . 直線與曲線交于A,D兩點(A在D的左側(cè)),與曲線交于B,C兩點(B在C的左側(cè)).
(1)當=,時,求橢圓的方程;
(2)若,求的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知橢圓的上頂點為,左焦點為,直線與圓相切.過點的直線與橢圓交于兩點.
(I)求橢圓的方程;
(II)當的面積達到最大時,求直線的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知橢圓的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若過點的直線與橢圓相交于兩點,設為橢圓上一點,且滿足(其中為坐標原點),求整數(shù)的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

設橢圓的左、右焦點分別為,
上頂點為,在軸負半軸上有一點,滿足,且

(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)是過三點的圓上的點,到直線的最大距離等于橢圓長軸的長,求橢圓的方程;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,過右焦點作斜率為的直線與橢圓交于兩點,線段的中垂線與軸相交于點,求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知橢圓的離心率為,直線過點,,且與橢圓相切于點.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)是否存在過點的直線與橢圓相交于不同的兩點、,使得?若存在,試求出直線的方程;若不存在,請說明理由.

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