設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn),直線方程為,直線與軸交于點(diǎn),、分別為橢圓的左右頂點(diǎn),已知,且.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn),求三角形面積.
(Ⅰ);(Ⅱ)三角形面積為.
解析試題分析:(Ⅰ)∵,∴,又∵,
∴,∴,,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 6分
(Ⅱ)由題知:,,:,,,
由 消得:, 9分
∴ .
點(diǎn)到直線的距離:, 12分
∴,即三角形面積為. 14分
考點(diǎn):本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,距離,三角形面積。
點(diǎn)評(píng):中檔題,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì),注意明確焦點(diǎn)軸和a,b,c的關(guān)系。曲線關(guān)系問題,往往通過聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,運(yùn)用韋達(dá)定理。本題(2)在應(yīng)用韋達(dá)定理的基礎(chǔ)上,應(yīng)用弦長公式,易于進(jìn)一步計(jì)算三角形面積。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為,短軸長為4.
(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(II)直線x=2與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn),A、B是橢圓O上位于直線PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn),且直線AB的斜率為.
①求四邊形APBQ面積的最大值;
②設(shè)直線PA的斜率為,直線PB的斜率為,判斷+的值是否為常數(shù),并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
求傾斜角是直線y=-x+1的傾斜角的,且分別滿足下列條件的直線方程:(1)經(jīng)過點(diǎn)(,-1);(2)在y軸上的截距是-5.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓:的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè),、是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn),連結(jié)交橢圓于另一點(diǎn),求直線的斜率的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,證明直線與軸相交于定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn)(),直線:,點(diǎn)在直線上移動(dòng),是線段與軸的交點(diǎn), 過、分別作直線、,使, .
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)在直線上任取一點(diǎn)做曲線的兩條切線,設(shè)切點(diǎn)為、,求證:直線恒過一定點(diǎn);
(3)對(duì)(2)求證:當(dāng)直線的斜率存在時(shí),直線的斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上.若橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)、的距離之和等于4.
(1)寫出橢圓的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo).
(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)、,當(dāng)的面積取得最大值時(shí),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)是橢圓上的兩點(diǎn),已知向量,若且橢圓的離心率,短軸長為2,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)試問△AOB的面積是否為定值?如果是,請(qǐng)給予證明;如果不是,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
曲線都是以原點(diǎn)O為對(duì)稱中心、坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸、離心率相等的橢圓.點(diǎn)M的坐標(biāo)是(0,1),線段MN是曲線的短軸,并且是曲線的長軸 . 直線與曲線交于A,D兩點(diǎn)(A在D的左側(cè)),與曲線交于B,C兩點(diǎn)(B在C的左側(cè)).
(1)當(dāng)=,時(shí),求橢圓的方程;
(2)若,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C:(a>b>0),則稱以原點(diǎn)為圓心,r=的圓為橢圓C的“知己圓”。
(Ⅰ)若橢圓過點(diǎn)(0,1),離心率e=;求橢圓C方程及其“知己圓”的方程;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的前提下,若過點(diǎn)(0,m)且斜率為1的直線截其“知己圓”的弦長為2,求m的值;
(Ⅲ)討論橢圓C及其“知己圓”的位置關(guān)系.
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