Question

以雙曲線

x2

3

-y²=1左焦點(diǎn)F，左準(zhǔn)線l為相應(yīng)焦點(diǎn)，準(zhǔn)線的橢圓截直線y=kx+3所得弦恰被x軸平分，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出雙曲線的焦點(diǎn)和左準(zhǔn)線方程，設(shè)出橢圓方程，聯(lián)立直線方程消去y，得到x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出直線和x軸的交點(diǎn)，得到方程求出中點(diǎn)坐標(biāo)，再由橢圓中心（m，0）在F的左側(cè)，解不等式即可得到k的范圍．

解答： 解：雙曲線

x2

3

-y²=1的左焦點(diǎn)為（-2，0），左準(zhǔn)線l：x=-

3

2

，
可設(shè)橢圓

(x-m)2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
與直線y=kx+3聯(lián)立，消去y得：
（b²+a²k²）x²-2（b²m-3a²k）x+9a²-a²b²=0，
△＞0時(shí)得x₁+x₂=

2(b2m-3a2k)

b2+a2k2

，
則弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

b2m-3a2k

b2+a2k2

，
又直線y=kx+3與x軸交于點(diǎn)（-

3

k

，0），
據(jù)題設(shè)知：-

3

k

=

b2m-3a2k

b2+a2k2

，
解得m=-

3

k

，
而橢圓中心（m，0）在F的左側(cè)，
∴m=-

3

k

＜-2，
解得0＜k＜

3

2

．
故答案為：（0，

3

2

）．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查橢圓方程和直線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．