Question

設(shè)函數(shù)g(x)= (a，b∈R)，在其圖象上一點(diǎn)P(x,y)處的切線的斜率記為f(x)．
（1）若方程f(x)=0有兩個(gè)實(shí)根分別為一2和4，求f(x)的表達(dá)式；
（2）若g(x)在區(qū)間[一1，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)，求a²+b²的最小值．

Answer 1

（1）f(x)= x²-2x-8（2）13

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f(x)=g′(x)=x²+ax-b
由已知一2、4是方程x²+ax-b =0的兩個(gè)實(shí)根-
由韋達(dá)定理，,∴，f(x)= x²-2x-8
（2）g(x)在區(qū)間【-1.3】上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以在【-1，3】區(qū)間上恒有
f(x)=g’(x)=x²+ax-b≤0，即f(x)=g’(x)=x²+ax-b≤0在【-1，3】恒成立，
這只需要滿(mǎn)足即可，也即
而a²+b²可以視為平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，其中點(diǎn)（-2，3）距離原點(diǎn)最近，所以當(dāng)時(shí)，a²+b²有最小值13