Question

已知圓F：x²+（y-1）²=1，動(dòng)圓P與定圓F在x軸的同側(cè)且與x軸相切，與定圓F相外切．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）已知M（0，2），是否存在垂直于y軸的直線m，使得m被以PM為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出m的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r，則|PF|=1+r．根據(jù)圓P與x軸相切，以及動(dòng)圓P與定圓F在x軸的同側(cè)，可得方程

x2+(y-1)2

=1+y．從而可求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程．
（Ⅱ）對(duì)于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在垂直x軸的直線l被以AN為直徑的圓截得的弦長恒為定值，再利用數(shù)形結(jié)合求解，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r，則|PF|=1+r．
設(shè)P（x，y），根據(jù)圓P與x軸相切，以及動(dòng)圓P與定圓F在x軸的同側(cè)，可得r=y＞0，
所以，

x2+(y-1)2

=1+y．
化簡得：x²=4y．
所以，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x²=4y（y＞0）．
（Ⅱ）設(shè)P(xP，

x 2 P

4

)，則以PM為直徑的圓的圓心為Q(

xP

2

，

x 2 P

8

+1)，半徑r=

|PM|

2

=

(xP)2+( x 2 P 4 -2)2

2

，
若存在滿足題意的直線，設(shè)方程為y=a，則圓心到該直線的距離為|

x 2 P

8

+1-a|．
根據(jù)勾股定理，可得：該直線被圓所截得的弦長l滿足：(

l

2

)2=r2-|

x 2 P

8

+1-a|2，即(l)2=4r2-|

x 2 P

4

+2-2a|2=(xP)2+(

x 2 P

4

-2)2-(

x 2 P

4

+2-2a)2=

x

2 P

(a-1)+8a-4a2
要使l為定值，需且只需a=1．
所以，存在垂直于y軸的直線m：y=1，使得m被以PM為直徑的圓截得的弦長恒為定值，定值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題通過直接法得到拋物線的軌跡方程，有助于學(xué)生進(jìn)一步梳理拋物線的概念，要注意y＞0的發(fā)現(xiàn)．第二問實(shí)際考查的是直線與圓的位置關(guān)系問題，要求學(xué)生盡量利用幾何條件解題：弦心距、半弦長、半徑構(gòu)成直角三角形，知二求一．