(本小題滿分12分)如圖,在正三棱柱中,分別是的中點(diǎn),

(Ⅰ)在棱上是否存在點(diǎn)使?如果存在,試確定它的位置;如果不存在,請說明理由;
(Ⅱ)求截面與底面所成銳二面角的正切值;
(Ⅲ)求點(diǎn)到截面的距離.
(Ⅰ)存在且為的中點(diǎn)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
解法一:(Ⅰ)存在且為的中點(diǎn),連接,
分別是的中點(diǎn), ∴.          (3分)
(Ⅱ)延長的延長線交于,連接,
為截面與底面所成二面角的棱,
的中點(diǎn),連,則

,∴的中點(diǎn).
由題設(shè)得,且,
,則,連,
,
由三垂線定理可知
為截面與底面所成的銳二面角.                              (6分)
中,,∴.         (8分)
(Ⅲ)在中,得,
中,得,
,
,解得,即到截面距離為.   (12分)
解法二:(Ⅱ)如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),
的方向分別作為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,


;
分別是
的中點(diǎn),∴,
,;
設(shè)平的法向量為,
,
解得,取;
又平面的一個法向量為,                               (6分)
設(shè)截面與底面所成銳二面角為,
,
,得
故截面與底所成銳二面角的正切值為2.  (8分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面的一個法向量為,
設(shè)點(diǎn)到截面的距離為,
由向量的投影得
故點(diǎn)到截面的距離為.                                    (12分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分12分)已知矩形ABCD中,,,現(xiàn)沿對角線折成二面角,使(如圖).
(I)求證:;
(II)求二面角平面角的大小.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,四棱錐的底面是矩形,
底面,PBC邊的中點(diǎn),SB
平面ABCD所成的角為45°,且AD=2,SA=1.
(1)求證:平面SAP;
(2)求二面角ASDP的大小.          

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題12分)
圖甲是一個幾何體的表面展開圖,圖乙是棱長為的正方體。
(Ⅰ)若沿圖甲中的虛線將四個三角形折疊起來,使點(diǎn)、、重合,則可以圍成怎樣的幾何體?請求出此幾何體的體積;
(Ⅱ)需要多少個(I)的幾何體才能拼成一個圖乙中的正方體?請按圖乙中所標(biāo)字母寫出這幾個幾何體的名稱;
(Ⅲ)在圖乙中,點(diǎn)為棱上的動點(diǎn),試判斷與平面是否垂直,并說明理由。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在三棱錐中,是邊長為的正三角形,平面平面,、分別為的中點(diǎn),
(1)證明:;
(2)求二面角的大小;
(3)求點(diǎn)到平面的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分12分)
已知四棱錐的三視圖如下圖所示,其中主視圖、側(cè)視圖是直角三角形,俯視圖是有一條對角線的正方形.是側(cè)棱上的動點(diǎn).
(1)求證:
(2)若五點(diǎn)在同一球面上,求該球的體積.
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本題滿分14分)本題共有2個小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分.
在長方體中,,過、、三點(diǎn)的平面截去長方體的一個角后,得到如圖所示的幾何體,且這個幾何體的體積為
(1)求棱的長;
(2)若的中點(diǎn)為,求異面直線所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知二面角的大小為,為空間中任意一點(diǎn),則過點(diǎn)且與平面和平面所成的角都是的直線的條數(shù)為(  )
A.1B.2C.3D.4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

正方體--,E、F分別是的中點(diǎn),p是上的動點(diǎn)(包括端點(diǎn)),過E、D、P作正方體的截面,若截面為四邊形,則P的軌跡是
A.線段   B、線段    C、線段和一點(diǎn)     D、線段和一點(diǎn)C。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案