Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AE⊥BF；
（Ⅱ）求證：BF⊥平面AB₁E；
（Ⅲ）棱CC₁上是否存在點(diǎn)P使AP⊥BF，若存在，確定點(diǎn)P位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）證明：取AD中點(diǎn)G，連接FG、BG，則FG⊥AE，
又∵△BAG≌△ADE，∴∠ABG=∠DAE，
∴AE⊥BG，又∵BG∩FG=G，
∴AE⊥平面BFG，
∴AE⊥BF；
（Ⅱ）證明：連A₁B，則AB₁⊥A₁B，
又AB₁⊥A₁F，A₁B∩A₁F=A₁，
∴AB₁⊥平面A₁BF，
∴AB₁⊥BF，
又AE∩AB₁=A，AE⊥BF；
∴BF⊥平面AB₁E；
（Ⅲ）解：存在，取CC₁中點(diǎn)P，即為所求，
連接EP、C₁D
∵EP∥C₁D，C₁D∥AB₁，
∴EP∥AB₁，∴AP?平面AB₁E，
由（Ⅱ）知BF⊥平面AB₁E，
∴AP⊥BF．
分析：（Ⅰ）取AD中點(diǎn)G，連接FG、BG，通過證明⊥平面BFG，證明AE⊥BF；
（Ⅱ）連A₁B，證明線線垂直，從而證明BF⊥平面AB₁E；
（Ⅲ）存在，取CC₁中點(diǎn)P，連接EP、C₁D，說明AP?平面AB₁E，利用BF⊥平面AB₁E，推出AP⊥BF．
點(diǎn)評：本題考查空間線面、線線垂直的判定及互相轉(zhuǎn)化，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．