Question

【題目】如圖①所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD為∠ACB的平分線，點E在線段AC上，CE＝4，將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，連接AB，BE，如圖②所示，設(shè)點F是AB的中點．

(1)求證：DE⊥平面BCD；

(2)若EF∥平面BDG，其中G為AC上一點，求三棱錐B－DEG的體積．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)平幾知識可得ED⊥DC.再由面面垂直性質(zhì)定理得DE⊥平面BCD.（2）先根據(jù)線面平行性質(zhì)定理得EF∥BG，G為EC的中點，由面面垂直性質(zhì)定理得B到DC的距離就是三棱錐B－DEG的高，再根據(jù)錐體體積公式求體積

試題解析：(1)證明　取AC的中點P，連接DP，因為在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD為∠ACB的平分線，

所以∠A＝30°，△ADC是等腰三角形，所以DP⊥AC，DP＝，∠DCP＝30°，∠PDC＝60°.

又點E在線段AC上，CE＝4，

所以AE＝2，EP＝1，所以∠EDP＝30°，

所以∠EDC＝90°，所以ED⊥DC.

因為平面BCD⊥平面ACD，且平面BCD∩平面ACD＝DC，所以DE⊥平面BCD.

(2)解　若EF∥平面BDG，其中G為AC上一點，

則易知G為EC的中點，此時AE＝EG＝GC＝2.

因為在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD為∠ACB的平分線，

所以BD＝，DC＝2，

所以B到DC的距離h＝＝＝.

因為平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝DC，

所以B到DC的距離h就是三棱錐B－DEG的高，

所以三棱錐B－DEG的體積V＝·S△DEG·h＝××＝.