【題目】對于素數(shù)p,定義集合 .
及 .試求所有的素數(shù)p,使得
.
【答案】滿足條件的所有素數(shù)p為2、3、5、13、17.
【解析】
1.首先驗算當p=2,3,5,13,17時,滿足題意.
i.當p=2時,對任意,a、b、c均為奇數(shù)或兩奇一偶,此時,
.
故.
ii.當p=3時,由平方數(shù)模3余0或1得
或.
因此,
iii.當p=5時,若
.
由模5余0或±1,得不能模5同為1或-1,此時必有
.
因此,.
iv.當p=13時,若
.
由模13余0或±1或±3或±4,經(jīng)驗算得中有一個模13為0或-1,此時必有
或
或
因此,
v.當=p=17時,若
.
由模17余0或±1或±2或±4或±8,經(jīng)驗算得中有一個模17為0或-1,此時必有
或
或
因此,.
2.證明:當,且p>3時,不滿足題意.
只需證明存在,而即可.
事實上,由p>3,知存在整數(shù)c,使得
.
由無解.
在模p意義下,定義函數(shù),
.
若,則
.
于是,f為單射(在模p意義下).
因此,f的值域中共有個值.
由抽屜原理,知存在整數(shù)b,使得
.
注意到,b≠0(否則,與,矛盾),且a≠0(否則,與,矛盾).
若,則由
.
而,,,于是,
.
故當且p>3時,不滿足題意.
3.證明:當,且p>17時,不滿足題意.
先證明兩個引理.
引理1 若p為奇素數(shù),kt≠0,則
,
其中,Z為模p的完系,表示勒讓德符號.
引理1的證明 設模p的二次非零剩余構成集合A,非二次剩余構成集合B.
若,則.
而遍歷0一次,遍歷集合A中每個元素恰兩次,故
.
若,則.
而遍歷0一次,遍歷集合B中每個元素恰兩次,故
=
=.
因此, .
引理2 設.則方程
①
至少有p-1組解.
引理2的證明 方程①等價于
至少有p-1組解.
固定有組解.
于是,共有組解.
由引理1及,得
.
回到原題.
令c=a+b,其中,S為的解集,則
=
=.
于是, .
若,則有下列四種情形:
ⅰ.至多有兩個值(a,b).
ⅱ.至多有兩個值(a,b).
ⅲ.且至多有兩個值(a,b).
ⅳ.,此時,
.
而,故
至多6個b的解.
又一個b至多可確定兩個a,于是,至多有12個值(a,b).
綜上,至多有18個值,使得
.
又p>17時,p+1>18,則必存在一組,而.
故.
因此,滿足條件的所有素數(shù)p為2、2、5、13、17.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某城市的公交公司為了方便市民出行,科學規(guī)劃車輛投放,在一個人員密集流動地段增設一個起點站,為了研究車輛發(fā)車間隔時間與乘客等候人數(shù)之間的關系,經(jīng)過調查得出了如下數(shù)據(jù):
間隔時間(分鐘) | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
等待人數(shù)(人) | 23 | 25 | 26 | 29 | 28 | 31 |
調查小組先從這六組數(shù)據(jù)中選取四組數(shù)據(jù)作線性回歸分析,然后用剩下的兩組數(shù)據(jù)進行檢驗
(1)求從這六組數(shù)據(jù)中選取四組數(shù)據(jù)后,剩下的的兩組數(shù)據(jù)不相鄰的概率:
(2)若先取的是后面四組數(shù)據(jù),求關干的線性回歸方程;
(3)規(guī)定根據(jù)(2)中線性回歸方程預利的數(shù)據(jù)與用剩下的兩組實際數(shù)據(jù)相差不超過人,則所求出的線性回歸方程是“最佳回歸方程”,請判斷(2)中所求的是 “最佳回歸方程”嗎?為了使等候的乘客不超過人,則間隔時間設置為分鐘合適嗎?
附:對于一組組數(shù)據(jù), 其回歸直線 +的斜率和截距的最小二乘估計分別為: ,
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】每個國家對退休年齡都有不一樣的規(guī)定,從2018年開始,我國關于延遲退休的話題一直在網(wǎng)上熱議,為了了解市民對“延遲退休”的態(tài)度,現(xiàn)從某地市民中隨機選取100人進行調查,調查情況如下表:
年齡段(單位:歲) | ||||||
被調查的人數(shù) | ||||||
贊成的人數(shù) |
(1)從贊成“延遲退休”的人中任選1人,此人年齡在的概率為,求出表格中的值;
(2)若從年齡在的參與調查的市民中按照是否贊成“延遲退休”進行分層抽樣,從中抽取10人參與某項調查,然后再從這10人中隨機抽取4人參加座談會,記這4人中贊成“延遲退休”的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】、設是1,2,…,n的一個排列,把排在的左邊且比小的數(shù)的個數(shù)為(=1,2,…n)的順序數(shù),如在排列6,4,5,3,2,1中,5的順序數(shù)為1,3的順序數(shù)為0,則在1至 8這8個數(shù)的排列中,8的順序數(shù)為2,7的順序數(shù)為3,5的順序數(shù)為3的不同排列的種數(shù)為 ()
A.120B.48C.144D.192
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點.
(Ⅰ)證明: BC1//平面A1CD;
(Ⅱ)設AA1= AC=CB=2,AB=2,求三棱錐C一A1DE的體積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)若,解不等式;
(Ⅱ)設是函數(shù)的四個不同的零點,問是否存在實數(shù),使得其中三個零點成等差數(shù)列?若存在,求出所有的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著經(jīng)濟的發(fā)展,個人收入的提高,自2019年1月1日起,個人所得稅起征點和稅率的調整.調整如下:納稅人的工資、薪金所得,以每月全部收入額減除5000元后的余額為應納稅所得額.依照個人所得稅稅率表,調整前后的計算方法如下表:
個人所得稅稅率表(調整前) | 個人所得稅稅率表(調整后) | ||||
免征額3500元 | 免征額5000元 | ||||
級數(shù) | 全月應納稅所得額 | 稅率(%) | 級數(shù) | 全月應納稅所得額 | 稅率(%) |
1 | 不超過1500元部分 | 3 | 1 | 不超過3000元部分 | 3 |
2 | 超過1500元至4500元的部分 | 10 | 2 | 超過3000元至12000元的部分 | 10 |
3 | 超過4500元至9000元的部分 | 20 | 3 | 超過12000元至25000元的部分 | 20 |
... | ... | ... | ... | ... | ... |
(1)假如小紅某月的工資、薪金等所得稅前收入總和不高于8000元,記
(2)某稅務部門在小紅所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個不同層次員工的稅前收入,并制成下面的頻數(shù)分布表:
收入(元) | ||||||
人數(shù) | 30 | 40 | 10 | 8 | 7 | 5 |
先從收入在及的人群中按分層抽樣抽取7人,再從中選2人作為新納稅法知識宣講員,求兩個宣講員不全是同一收入人群的概率;
(3)小紅該月的工資、薪金等稅前收入為7500元時,請你幫小紅算一下調整后小紅的實際收入比調整前增加了多少?
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