(2013•西城區(qū)一模)已知集合Sn={X|X=(x1x2,…,xn),xiN*,i=1,2,…,n} (n≥2).對(duì)于A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn)∈Sn,定義
AB
=(b1-a1,b2-a2,…,bn-an)
;λ(a1,a2,…,an)=(λa1,λa2,…,λan)(λ∈R);A與B之間的距離為d(A,B)=
n
i=1
|ai-bi|

(Ⅰ)當(dāng)n=5時(shí),設(shè)A=(1,2,1,2,5),B=(2,4,2,1,3),求d(A,B);
(Ⅱ)證明:若A,B,C∈Sn,且?λ>0,使
AB
BC
,則d(A,B)+d(B,C)=d(A,C);
(Ⅲ)記I=(1,1,…,1)∈S20.若A,B∈S20,且d(I,A)=d(I,B)=13,求d(A,B)的最大值.
分析:(Ⅰ) 當(dāng)n=5時(shí),直接利用d(A,B)=
5
i=1
|ai-bi|
,求得 d(A,B)的值.
(Ⅱ)設(shè)A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn),C=(c1,c2,…,cn),則由題意可得?λ>0,使得 
 bi-ai=λ(ci-bi),其中i=1,2,…,n,由此計(jì)算 d(A,B)+d(B,C)的結(jié)果,計(jì)算d(A,C)的結(jié)果,從而得出結(jié)論
(Ⅲ) 根據(jù)x,y∈R,則有|x+y|≤|x|+|y|,可得所以 d(A,B)=
20
i=1
|bi-ai| =
20
i=1
|(bi-1)+(1-ai)|
  
20
i=1
(|bi-1|+|1-ai| )
,等號(hào)成立的條件為ai=1,或bi=1,從而得到 d(A,B)≤26,由此可得結(jié)論.
解答:(Ⅰ)解:當(dāng)n=5時(shí),由d(A,B)=
5
i=1
|ai-bi|
,
得 d(A,B)=|1-2|+|2-4|+|1-2|+|2-1|+|5-3|=7,所以 d(A,B)=7.
(Ⅱ)證明:設(shè)A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn),C=(c1,c2,…,cn).
因?yàn)?λ>0,使
AB
BC

所以?λ>0,使得 (b1-a1,b2-a2,…,bn-an)=λ((c1-b1,c2-b2,…,cn-bn),
所以?λ>0,使得 bi-ai=λ(ci-bi),其中i=1,2,…,n.
所以 bi-ai與ci-bi(i=1,2,…,n)同為非負(fù)數(shù)或同為負(fù)數(shù).
所以 d(A,B)+d(B,C)=
n
i=1
|ai-bi|+
n
i=1
|bi-ci|

=
n
i=1
(|bi-ai|+|ci-bi|)
=
n
i=1
|ci-ai| =d(A,C)

(Ⅲ) 首先證明如下引理:設(shè)x,y∈R,則有|x+y|≤|x|+|y|.
證明:因?yàn)?|x|≤x≤|x|,-|y|≤y≤|y|,所以-(|x|+|y|)≤x+y≤|x|+|y|,
即|x+y|≤|x|+|y|.
所以 d(A,B)=
20
i=1
|bi-ai| =
20
i=1
|(bi-1)+(1-ai)|
  
20
i=1
(|bi-1|+|1-ai| )
 
=
20
i=1
|ai-1|+
20
i=1
|bi-1|=26

上式等號(hào)成立的條件為ai=1,或bi=1,所以 d(A,B)≤26.
對(duì)于 A=(1,1,…,1,14),B=(14,1,1,…,1),有 A,B∈S20,
且d(I,A)=d(I,B)=13,故d(A,B)=26.
綜上,d(A,B)的最大值為26.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查新定義,兩點(diǎn)間的距離公式,兩個(gè)向量共線,絕對(duì)值不等式的性質(zhì)應(yīng)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•西城區(qū)一模)從甲、乙等5名志愿者中選出4名,分別從事A,B,C,D四項(xiàng)不同的工作,每人承擔(dān)一項(xiàng).若甲、乙二人均不能從事A工作,則不同的工作分配方案共有( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•西城區(qū)一模)某商區(qū)停車(chē)場(chǎng)臨時(shí)停車(chē)按時(shí)段收費(fèi),收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為:每輛汽車(chē)一次停車(chē)不超過(guò)1小時(shí)收費(fèi)6元,超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)8元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算).現(xiàn)有甲、乙二人在該商區(qū)臨時(shí)停車(chē),兩人停車(chē)都不超過(guò)4小時(shí).
(Ⅰ)若甲停車(chē)1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)的概率為
1
3
,停車(chē)付費(fèi)多于14元的概率為
5
12
,求甲停車(chē)付費(fèi)恰為6元的概率;
(Ⅱ)若每人停車(chē)的時(shí)長(zhǎng)在每個(gè)時(shí)段的可能性相同,求甲、乙二人停車(chē)付費(fèi)之和為36元的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•西城區(qū)一模)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn,且a1>0.若S2>2a3,則q的取值范圍是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•西城區(qū)一模)記實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn中的最大數(shù)為max{x1,x2,…,xn},最小數(shù)為min{x1,x2,…,xn}.設(shè)△ABC的三邊邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且a≤b≤c,定義△ABC的傾斜度為t=max{
a
b
,
b
c
,
c
a
}•min{
a
b
,
b
c
,
c
a
}

(。┤簟鰽BC為等腰三角形,則t=
1
1
;
(ⅱ)設(shè)a=1,則t的取值范圍是
[1,
1+
5
2
)
[1,
1+
5
2
)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•西城區(qū)一模)如圖,正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為1,則
AC
DB
=
-
3
2
-
3
2

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案