Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=sin+cos ， x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期，并求函數(shù)f（x）在x∈[﹣2π，2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）=sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換可以得到函數(shù)f（x）的圖象．

Answer 1

【答案】
解：f（x）=sin+cos=2sin（+）
（1）最小正周期T==4π．令z=+，函數(shù)y=sinz的單調(diào)遞增區(qū)間是[-+2kπ，+2kπ]，k∈Z．
由-+2kπ≤+≤+2kπ，得-+4kπ≤x≤+4kπ，k∈Z．
取k=0，得-≤x≤，而[-，][﹣2π，2π]
函數(shù)f（x）在x∈[﹣2π，2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是[-，]．
（2）把函數(shù)y=sinx圖象向左平移，得到函數(shù)y=sin（x+ ）的圖象，
再把函數(shù)y=sin（x+ ） 的圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=sin（+）的圖象，然后再把每個點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標不變，即得到函數(shù) y=2sin（+）的圖象．
【解析】將f（x）化為一角一函數(shù)形式得出f（x）=2sin（+）,
（1）利用-+2kπ≤+≤+2kπ，且x∈[﹣2π，2π]，對k合理取值求出單調(diào)遞增區(qū)間;
（2）該函數(shù)圖象可由y=sinx的圖象，先向左平移 ， 再圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，，即得到函數(shù) y=2sin（+）.
【考點精析】關于本題考查的函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，需要了解圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數(shù)的圖象才能得出正確答案．