Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長為，M為正方形DCC₁D₁的中心，E、F分別為A₁D₁、BC的中點(diǎn)
（1）求證：AM⊥平面B₁FDE；
（2）求點(diǎn)A到平面EDFB₁的距離；
（3）求二面角A-DE-F的大小。
 

Answer 1

（1）見解析（2）(3)

（1）證明：連接AM，過M作MG⊥CD于G，連接AG
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，MG⊥CD
∴MG⊥平面ABCD
又∵M(jìn)為正方形DCC₁D₁的中心，MG⊥CD
∴G為CD中點(diǎn)
在正方形ABCD中，F(xiàn)為CB中點(diǎn) ∴CF=DG
又∵AD="DC     " ∠DCF=∠ADG=Rt∠
∴△ADG≌△DCF    ∴∠AGD=∠DFC    ∴AG⊥DF
由MG⊥平面ABCD，AG⊥DF可得AM⊥DF，
同理可得AM⊥DE
∴AM⊥平面B₁FDE
（2）設(shè)A到平面DEB₁F的距離為
∵E到平面ADF的距離為
∴  ∴
又∵    


∴              
（3）過F作FP⊥AD于P，過P作PQ⊥DE于Q，連接FQ
∵FP⊥平面DEP，PQ⊥DE
∴FQ⊥DE
∴∠FQP為二面角A-DE-F的平面角
∵
∴
在R t△FPQ中     
∴二面角A-DE-F的大小為