【題目】如圖,在四棱錐中,平面平面,是的中點,是上一點,且
(1)求證:平面;
(2)若求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)取PA的中點M,連接MD,ME,證明四邊形MDFE是平行四邊形,則,再由直線與平面平行的判定可得面PAD;
(2)過點P作于點H,則平面ABCD,以H為坐標(biāo)原點,HA所在直線為y軸,過點H且平行于AB的直線為z軸,PH所在直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面ABCD的一個法向量與的坐標(biāo),再由兩向量所成角的余弦值可得直線PB與平面ABCD所成角的正弦值.
(1)如圖,取的中點,連接.
則,.
又,,所以,,
所以四邊形是平行四邊形,所以,
因為面,面,所以
(2)過點作于點,則平面,以為坐標(biāo)原點,所在直線為軸,過點且平行于的直線為軸,所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
在等腰三角形中,,,
因為,所以,
解得.
則,所以,所以.
易知平面的一個法向量為,
所以,
所以直線與平面所成角的正弦值為.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點為極點,以軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中,圓的方程為.
(1)寫出直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點的坐標(biāo)為,圓與直線交于兩點,求的值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若過點的直線與曲線相切,求直線的斜率的值;
(2)設(shè),若,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知拋物線:的焦點為,直線:與拋物線交于,兩點.
(1)若,求直線的方程;
(2)過點作直線交拋物線于,兩點,若線段,的中點分別為,,直線與軸的交點為,求點到直線與距離和的最大值.
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【題目】某度假酒店為了解會員對酒店的滿意度,從中抽取50名會員進行調(diào)查,把會員對酒店的“住宿滿意度”與“餐飲滿意度”都分為五個評分標(biāo)準(zhǔn):1分(很不滿意);2分(不滿意);3分(一般);4分(滿意);5分(很滿意).其統(tǒng)計結(jié)果如下表(住宿滿意度為,餐飲滿意度為)
(1)求“住宿滿意度”分數(shù)的平均數(shù);
(2)求“住宿滿意度”為3分時的5個“餐飲滿意度”人數(shù)的方差;
(3)為提高對酒店的滿意度,現(xiàn)從且的會員中隨機抽取2人征求意見,求至少有1人的“住宿滿意度”為2的概率.
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【題目】人們通常以分貝(符號是)為單位來表示聲音強度的等級,30~40分貝是較理想的安靜環(huán)境,超過50分貝就會影響睡眠和休息,70分貝以上會干擾談話,長期生活在90分貝以上的嗓聲環(huán)境,會嚴(yán)重影響聽力和引起神經(jīng)衰弱、頭疼、血壓升高等疾病,如果突然暴露在高達150分貝的噪聲環(huán)境中,聽覺器官會發(fā)生急劇外傷,引起鼓膜破裂出血,雙耳完全失去聽力,為了保護聽力,應(yīng)控制噪聲不超過90分貝,一般地,如果強度為的聲音對應(yīng)的等級為,則有,則的聲音與的聲音強度之比為( )
A.10B.100C.1000D.10000
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【題目】垃圾分類是對垃圾進行有效處置的一種科學(xué)管理方法,為了了解居民對垃圾分類的知曉率和參與率,引導(dǎo)居民積極行動,科學(xué)地進行垃圾分類,某小區(qū)隨機抽取年齡在區(qū)間[25,85]上的50人進行調(diào)研,統(tǒng)計出年齡頻數(shù)分布及了解垃圾分類的人數(shù)如表:
(1)填寫下面2x2列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為以65歲為分界點居民對了解垃圾分類的有關(guān)知識有差異;
(2)若對年齡在[45,55),[25,35)的被調(diào)研人中各隨機選取2人進行深入調(diào)研,記選中的4人中不了解垃圾分類的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考公式和數(shù)據(jù)K2,其中n=a+b+c+d.
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【題目】設(shè)數(shù)列:A:a1,a2,…,an,B:b1,b2,…,bn.已知ai,bj∈{0,1}(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n),定義n×n數(shù)表,其中xij.
(1)若A:1,1,1,0,B:0,1,0,0,寫出X(A,B);
(2)若A,B是不同的數(shù)列,求證:n×n數(shù)表X(A,B)滿足“xij=xji(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n;ij)”的充分必要條件為“ak+bk=1(k=1,2,…,n)”;
(3)若數(shù)列A與B中的1共有n個,求證:n×n數(shù)表X(A,B)中1的個數(shù)不大于.
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【題目】如圖,一顆棋子從三棱柱的一個項點沿棱移到相鄰的另一個頂點的概率均為,剛開始時,棋子在上底面點處,若移了次后,棋子落在上底面頂點的概率記為.
(1)求,的值:
(2)求證:.
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