Question

【題目】已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等，平面BB1C1C⊥平面ABC，BC1＝C1C．

（1）求證：A1B⊥平面AB1C1；

（2）求二面角A1﹣AC1﹣B1的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）．

【解析】

（1）設(shè)直線AB1與直線BA1交于點(diǎn)G，連結(jié)C1G，推導(dǎo)出A1B⊥AB1，C1G⊥A1B，由此能證明A1B⊥平面AB1C1．

（2）取BC中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以OA，OC，OC1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A1﹣AC1﹣B1的余弦值．

（1）證明：設(shè)直線AB1與直線BA1交于點(diǎn)G，連結(jié)C1G，

∵四邊形ABB1A1是菱形，∴A1B⊥AB1，

∵BC1＝C1C＝C1A1，G為A1B的中點(diǎn)，∴C1G⊥A1B，

∵AB1∩C1G＝G，∴A1B⊥平面AB1C1．

（2）解：取BC中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖，分別以OA，OC，OC1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系：

設(shè)棱柱的棱長(zhǎng)為2，則C（0，1，0），C1（0，0，），A（，0，0），B（0，﹣1，0），

（，0，），（，1，0），（0，2，0），

設(shè)平面A1AC1的一個(gè)法向量（x，y，z），

則，取x＝1，得（1，，1），

設(shè)平面AB1C1的一個(gè)法向量為（a，b，c），

則，取x＝1，得（1，0，1），

設(shè)二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角為θ，

則cosθ．

∴二面角A1﹣AC1﹣B1的余弦值為．